矩阵范数(matrix norm)是数学中矩阵论、线性代数、泛函分析等领域中常见的基本概念,是将一定的矩阵空间建立为赋范向量空间时为矩阵装备的范数。应用中常将有限维赋范向量空间之间的映射以矩阵的形式表现,这时映射空间上装备的范数也可以通过矩阵范数的形式表达。
矩阵范数却不存在公认唯一的度量方式, 一般来讲矩阵范数除了正定性,齐次性和三角不等式之外,还规定其必须满足相容性: 。所以矩阵范数通常也称为相容范数。
如果║·║α是相容范数,且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数,那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║,总存在唯一的实数k>0,使得k║·║是极小范数。
注:如果不考虑相容性,那么矩阵范数和向量范数就没有区别,因为mxn矩阵全体和mn维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征,这一点和算子范数的相容性一致,并且可以得到Mincowski定理以外的信息。
1、向量范数
1-范数:,即向量元素绝对值之和,matlab调用函数norm(x, 1) 。
2-范数:,Euclid范数(欧几里得范数,常用计算向量长度),即向量元素绝对值的平方和再开方,matlab调用函数norm(x, 2)。
∞-范数:,即所有向量元素绝对值中的最大值,matlab调用函数norm(x, inf)。
-∞-范数:,即所有向量元素绝对值中的最小值,matlab调用函数norm(x, -inf)。
p-范数:,即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂,matlab调用函数norm(x, p)。
2、矩阵范数
1-范数:, 列和范数,即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值,matlab调用函数norm(A, 1)。
2-范数:,谱范数,即A’A矩阵的最大特征值的开平方。matlab调用函数norm(x, 2)。
∞-范数:,行和范数,即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值,matlab调用函数norm(A, inf)。
F-范数:,Frobenius范数,即矩阵元素绝对值的平方和再开平方,matlab调用函数norm(A, ’fro‘)。
诱导的范数
特征值λi中最大者λ1的平方根,其中AH为A的转置
共轭矩阵);
非诱导范数
矩阵谱半径
酉不变范数
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