复变函数：复数基本知识、欧拉公式、复变函数的导数、解析函数

实变函数（高等数学）主要内容：

微积分（一元、二元、多元）
级数理论
常微分方程

复变函数：

研究对象：自变量为复数的函数
主要任务：研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分
主要内容：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、保形映射、积分变换等。

一、复数基本知识

1.1 复数基本概念

对任意两实数x, y，称 $z = x + i y$ 或 $z = x + y i$ 为复数，其中 $i^2=-1$ ， $i$ 称为虚部

复数 $z$ 的实部 $R e (z) = x$ ，虚部 $I m (z) = y$

复数的模： $|z|=\sqrt{x^2+y^2}\ge0$

复数相等： $z_1=z_2 \iff x_1=x_2,y_1=y_2$ ，其中 $z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2$

$z=0\iff Re(z)=Im(z)=0$

一般两个复数不能比较大小。

共轭复数：若 $z = x + i y$ ，称 $\overline{z}=x-iy$ 为 $z$ 的共轭复数。

1.2 复数的几何表示

1.2.1 用点表示：

$\iff$ 复平面上的点 $P (x, y)$

复平面上横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴。

1.2.2 用向量表示：

$z=x+iy\iff \overrightarrow{OP}=\{x,y\}$

此时我们用向量 $\overrightarrow{OP}$ 来表示 $z = x + i y$ 。复数的模是向量的长度 $|z|=|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{x^2+y^2}$ 。而复数的幅角指向量与正实轴之间的夹角 $\theta=Arg_z=(\overrightarrow{OP},x)$ （ $tan(Argz)={y\over x}$ ），注意当z=0时，幅角无意义，且幅角是无穷多的： $Arg_z=\theta=\theta_0+2k\pi$ ，其中满足 $-\pi<\theta_0<\pi$ 的 $\theta_0$ 称为幅角 $Arg_z$ 的主值，记作： $\theta_0=Arg_z$ 。

1.2.3 用三角函数来表示：

用复数的模与幅角来表示非零复数z：

$由\begin{cases}x=rcos\theta\\y=rsin\theta\end{cases}\quad得:\quad z=r(cos\theta+isin\theta)$

1.2.4 用指数表示

由欧拉公式（在第二部分介绍了欧拉公式）： $e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$ 可得非零复数 $z$ 的指数表达式：
$z=re^{i\theta}$

1.2 复数的乘幂与方根

1.2.1 复数的乘积与熵

利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：

定理：

设 $z_1,z_2$ 是两个非零复数：

$z_1=|z_1|(cosArg_{z_1}+isinArg_{z_1})=|z_1|e^{i(Argz_1)} \\z_2=|z_2|(cosArg_{z_2}+isinArg_{z_2})=|z_2|e^{i(Argz_2)}$

则：

$|z_1z_2|=|z_1||z_2|,\quad Arg(z_1z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2)\\ |{z_1\over z_2}|={|z_1|\over|z_2|}(z_2\ne0),\quad Arg({z_1\over z_2})=Arg(z_1)-Arg(z_2)$
(?)

乘法的几何意义：将复数 $z_1$ 按逆时针方向旋转一个角度Arg( $z_2$ )，再将其伸缩到 $z_2|$ 倍。

1.2.2 复数的乘幂

n个相同复数 $z$ 的乘积 $z^n$ 称为 $z$ 的 $n$ 次幂：

$z^n=zz…z=r^ne^{in\theta}=r^n(cosn\theta+isinn\theta)$

特别地：当 $∣ z ∣ = r = 1$ 时， $z^n=(\cos n\theta+i\sin n\theta)$ ，此时有：

$(cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta$

这个公式称为De Moivre公式。

令 $z^{-n}={1\over z^n}$ ，则：

$z^{-n}=r^{-n}e^{-in\theta}=r^{-n}(cos(-n\theta)+isin(-n\theta))$

1.2.3 复数的方根

设 $z=re^{i\theta}$ 为已知复数，n为正整数，则称满足方程 $w^n=z$ 的所有 $w$ 值为 $z$ 的n次方根，记为 $w=\sqrt[n]{z}$ 。

设 $w=\rho e^{i\varphi}$ ，则 $\rho^ne^{in\varphi}=re^{i\theta}$ ，此时可得：

$\rho=\sqrt[n]{r},\ \varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n},\ k=0,\pm1,\pm2,\cdots$
$w=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin \frac{\theta+2k\pi}{n})$

当 $k=0,1,2,\dots,n-1$ 时，得到n个相异的根：

$w_0=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta}{n}+i\sin \frac{\theta}{n})\\ w_1=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta+2\pi}{n}+i\sin \frac{\theta+2\pi}{n})\\ w_2=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta+4\pi}{n}+i\sin \frac{\theta+4\pi}{n})\\ \vdots\\ w_{n-1}=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta+2(n-1)\pi}{n}+i\sin \frac{\theta+2(n-1)\pi}{n})$

而k取其他整数时，这些根又会重复出现。（？）

https://wenku.baidu.com/view/95266a772e60ddccda38376baf1ffc4ffe47e29a.html

二、欧拉公式：

令 $i=\sqrt{-1}$ ，欧拉公式为：

$e^{ix}=cosx+isinx$

欧拉公式的推导用到了泰勒展开，至于 $e^{ix}$ 为什么可以泰勒展开需要证明，这里忽略(?)：

$e^{ix}=1+ix+{(ix)^2\over 2!}+{(ix)^3\over 3}+{(ix)^4\over 4!}+{(ix)^5\over 5!}+{(ix)^6\over 6!}+…\\ =1+ix-{x^2\over2!}-{ix^3\over3!}+{x^4\over4!}+{ix^5\over5!}-{x^6\over6!}\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \\ =(1-{x^2\over2!}+{x^4\over4!}-{x^6\over6!}+…)+i(x-{x^3\over3!}+{x^5\over5!}-…)\ \ \\ =cosx+isinx\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \$

欧拉公式的一个变形：

$e^{ix}=cosx+isinx$

$e^{-ix}=cosx-isinx$

相加相减可以得到：

$sinx={(e^{ix}-e^{-ix})/2i}$

$cosx={(e^{ix}+e^{-ix})/2}$

三、复变函数的导数

3.1 导数的定义

3.2 求导公式与法则（实函数中求导法则的推广）

常数的导数 $c^{'} = (a + i b)^{'} = 0$
$z^n)’=nz^{n-1}$ （n是自然数）
设函数 $f (z), g (z)$ 均可导，则：
$[f(z)\pm g(z)]’=f'(z)\pm g'(z)$
$[f (z) g (z)]^{'} = f^{'} (z) g (z) + f (z) g^{'} (z)$
$[{f(z)\over g(z)}]’={f'(z)g(z)-f(z)g'(z)\over g^2(z)}\quad(g(z)\ne0)$
复合函数的导数： $f [g (z)]^{'} = f^{'} (g (z)) g^{'} (z)$
反函数的导数： $f'(z)={1\over \phi'(w)}$ ，其中： $w = f (z)$ ，与 $z=\phi(w)$ 互为单值的反函数，且 $\phi'(w)\ne0$