特征矩阵和特征向量的关系_特征向量求出来和答案不一样

文章目录

一：线性变换
二：矩阵
- （1）概念
- （2）本质
三：矩阵运算
三：列相关矩阵

一：线性变换

变换其实就是函数，接收输入内容然后输出结果

变换相对于函数来讲，无疑增添了一种运动的感觉

线性变换：输入一个向量经过变换之后再输出对应的向量。线性变换是一种保持网格平行且等距分布的变换

如果一个变换具有以下三条性质，我们就称它是线性的

1：直线在变换后仍然是直线，不能弯曲（下面动图是反例，直线被弯曲）
2：原点必须固定（下面是反例，直线虽然还是直线，但是原点移动了）
3：对角线也不能弯曲（下面第一张图看起来好像是线性的，但是第二张图揭示了对角线弯曲了）

线性的对立面就是非线性，所以非线性变换会把向量扭曲

复平面 $f(z)=\frac{z^{2}}{2}$ 变换
复平面 $f(z)=e^z$ 变换

二：矩阵

（1）概念

矩阵：有 $m$ × $n$ 个数 $x_{ij}$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列的数称之为 $m$ × $n$ 矩阵，记作

$A_{i,:}$ 表示矩阵 $A$ 的行向量（第 $i$ 行）
$A_{:.j}$ 表示矩阵 $A$ 的列向量（第 $j$ 列）

注意以下特殊类型的矩阵

同型矩阵：行数与列数对应相等
方阵：行数与列数相等
零矩阵 $O$
单位 $E$ 阵：是方阵，主对角线上的元素均为1。除此以外全都为0
对角阵：是方阵，只有主对角线上有元素。除此以外全都为0
对称阵：若 $A=A^{T}$ ，则称该矩阵为对称阵

（2）本质

可以发现，从图像上理解线性变换比较直观但是难以表达，那么究竟应该如何表达这种线性变换呢？

矩阵：矩阵是用来刻画变换的，它用数值来描述线性变换

例如，现在有一个向量 $\begin{pmatrix} -1\\ 2\end{pmatrix}$ ，它可以看做是基向量 $i j$ 的线性组合

施加一个线性变换

这里， $\overline v$ 和 $i j$ 都发生了变换，不再是以前的 $v$ 和 $i j$ ，由于线性变换会保证网格线平行且等距分布，所以变换后的 $v$ 的位置是-1与变换后 $i$ 之积+2与变换后 $j$ 之积

换句话说：既然 $\overline v$ 是 $i j$ 的特定的线性组合，那么变换后的 $\overline v$ 也是变换后的 $i j$ 的特定的线性组合。这意味着：你可以只根据变换后的 $i j$ 推断出变换后的 $\overline v$

在上图所示的情形中，变换后的向量 $i j$ 分别为 $\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 3\\ 0\end{pmatrix}$ ，于是，变换后的 $\overline v$ =-1 $\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}$ +2 $\begin{pmatrix} 3\\ 0\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} -1(1)+2(3)\\ -1(-2)+2(0)\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 5\\ 2\end{pmatrix}$ ，于是变换后的 $\overline v$ 一定落在 $\begin{pmatrix} 5\\ 2\end{pmatrix}$ 处

因此只要记录了变换后的 $i j$ ,我们就可以推断出任意向量在变换后的位置，而不必观察变换本身是怎样的
一般情况下，假如一个向量的坐标是 $\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$ ，变换后的这个向量就是 $x$ 乘以变换后的 $i$ ，也即 $\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}$ 加上 $y$ 乘以变换后的 $j$ ，也即 $\begin{pmatrix} 3\\ 0\end{pmatrix}$ ，因此它将会落在 $\begin{pmatrix} 1x+3y\\ -2x+0y\end{pmatrix}$ 位置处

综上，一个二维线性变换仅由四个数字完全确定，也即变换后的 $i$ 的 $(x, y)$ 和变换后的 $j$ 的 $(x, y)$

通常我们将这些坐标包装在一个2×2的格子中，称其为矩阵（2×2阶），矩阵只是一个记号，它描述了线性变换的信息

如果你有一个描述线性变化的2×2阶矩阵，以及一个给定的向量，你想了解线性变化对这个向量的作用，你只需取出向量的坐标，将它们分别与矩阵特定的列相乘，然后结果相加即可

考虑一般的矩阵 $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ ，把第一列 $\begin{pmatrix} a\\ c\end{pmatrix}$ 看作变换后的第一个基向量，把第二列 $\begin{pmatrix} b\\ d\end{pmatrix}$ 看作变换后的第二个基向量，让此变换作用于一个向量 $\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$ ，就会得到 $\begin{pmatrix} ax+by\\ cx+dy\end{pmatrix}$ ，这便是矩阵乘法的定义

三：矩阵运算

（1）矩阵的线性运算

A：加法

矩阵加法：只有同型矩阵才能进行加法运算，矩阵相加时对应元素相加即可

向量与矩阵相加时需要把向量补全为相应矩阵才可以进行

矩阵加法满足结合律和交换律

B：数乘

数乘：

（2）矩阵乘法

A：概念

矩阵乘法：矩阵 $A$ 、 $B$ 的乘积 $A B$ ，其实是矩阵 $A$ 的各个行向量与矩阵 $B$ 的各个列向量进行内积运算后组成的新矩阵

B：本质

矩阵用于描述变换，但我们前面所讲到的变化都是一种单一的变化，如果你想描述多种连续的变换，就可以使用复合变换

如下图，先将平面逆时针旋转90°，然后再进行剪切。很明显，这是两个变换，但我们可以把它复合为一个变换，即旋转和剪切作用的总和，他们对应的矩阵分别为 $\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$

经过旋转和剪切后，最终变化对应矩阵表示为 $\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$

所以对于一个向量 $\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$ ，我们先对其施加旋转，再对其施加剪切，用乘法描述就是下面这样
$\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}(\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix})$

而从总体效果上看，就是对向量 $\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$ 施加以符合变化，即
$\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$

联立两个等式
$\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}(\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$

约去等式相同部分，那么两者之积理应是相同的
$\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$

这两个矩阵的作用是需要从右往左看的，如下图，可以理解为先 $M_{1}$ 后 $M_{2}$ ，矩阵 $M_{2}$ = $\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ 作用于 $M_{1}$ 的第一列得到 $\begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}$ ，同样矩阵 $M_{2}$ = $\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ 作用于 $M_{1}$ 的第二列得到 $\begin{pmatrix} -1\\ 0\end{pmatrix}$