欧拉公式的证明推导过程_欧拉公式的证明过程

欧拉公式(Euler’s formula)

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

证明

方法1: 使用导数

如果函数$f(x)$的导数满足对任意的$x$，$f^{\prime }(x)=0$，且存在$x^{\prime }$使$f(x^{\prime })=C$，则该函数为常数函数$y=C$，其中$C$为常数。

下面根据这个结论证明欧拉公式：

令 $f(\theta )=\frac{\cos \theta +i\sin \theta }{e^{i\theta }}=e^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$

$\because$ $f^{\prime }(\theta )=e^{-i\theta }\left(i\cos \theta -\sin \theta \right)-i{e}^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=0$

$\therefore$ $f(\theta )$是常数

$\because$ $f(0)=1$

$\therefore$ 对任意$\theta$，都有$f(\theta )=1$是常数

$\therefore$ $e^{ix}=\cos x+i\sin x$
■

方法2: 使用幂级数

本方法使用麦克劳林级数(Maclaurin Series)进行证明。

• 关于虚数$i$的一些事实：
  $$\begin{array}{rlrlrlrl}{i}^0& =1,& i^1& =i,& i^2& =-1,& i^3& =-i,\\ i^4& =1,& i^5& =i,& i^6& =-1,& i^7& =-i\\ & ⋮& & ⋮& & ⋮& & ⋮\end{array}$$

• $sin(x)$和$cos(x)$的麦克劳林展开：
  $$sin(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots$$
  $$cos(x)=i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \right)$$

• $e^x$的麦克劳林展开：
  $$\begin{array}{rl}{e}^{ix}& =1+ix+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+\frac{(ix{)}^4}{4!}+\frac{(ix{)}^5}{5!}+\frac{(ix{)}^6}{6!}+\frac{(ix{)}^7}{7!}+\frac{(ix{)}^8}{8!}+\cdots \\ & =1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{i{x}^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{i{x}^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-\frac{i{x}^7}{7!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots \\ & =\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots \right)+i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \right)\\ & =\cos x+i\sin x\end{array}$$

所以欧拉公式得证。■

方法3: 使用 极坐标

虚数转极坐标背景知识

参考：所有复数都可以用极坐标表示
设$r$和$\theta$是对应于非零复数$z=x+iy$的点(x,y)的极坐标， 因为$x=rcos\theta$, $y=rsin\theta$ ，$z$可以被写成极坐标的形式：$z=r(cos\theta +isin\theta )$。
比如$3+4i$的极坐标表示如下（虚数转极坐标网站链接）：

开始证明

设
$$\begin{array}{r}{e}^{ix}=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\end{array}$$如果证明(8)式的$r=1$，则欧拉公式得证。

对(8)式两边同时求导，可得：
$$\begin{array}{r}i{e}^{ix}=\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\frac{dr}{dx}+r\left(-\sin \theta +i\cos \theta \right)\frac{d\theta }{dx}\end{array}$$
用$r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$代替$e^{ix}$并化简可得：
$$\begin{array}{r}(cos\theta \frac{dr}{dx}-rsin\theta \frac{d\theta }{dx}+rsin\theta )+i(sin\theta \frac{dr}{dx}-rcos\theta \frac{d\theta }{dx}+rcos\theta )=0\end{array}$$
因此(10)式的实部和虚部均等于0：
$$\begin{array}{r}cos\theta \frac{dr}{dx}-rsin\theta \frac{d\theta }{dx}+rsin\theta =0\\ sin\theta \frac{dr}{dx}-rcos\theta \frac{d\theta }{dx}+rcos\theta =0\end{array}$$

(11),(12)两式可解得$\frac{dr}{dx}=0$,$\frac{d\theta }{dx}=1$，因此$r$是一个常数$C1$，$\theta$是$x+C2$。

因为$e^{0i}=1$，虚数的模长为1，可得$r=C1=1$，进而通过$1=cos\theta +isin\theta$得出$\theta (0)=0+C2=0$，所以C1=1，C2=0，即$r=1$，$\theta =x$，因此：
$$e^{ix}=1(\cos x+i\sin x)=\cos x+i\sin x.$$
欧拉公式得证。■

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