计数原理公式_分类加法计数原理例题

【考试要求】

了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.

【知识梳理】

1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.

3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.

【微点提醒】

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.

1.分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.

2.分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.

【考点聚焦】

考点一　分类加法计数原理的应用

【规律方法】　分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.

(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.

(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复.

(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例(2)中易漏a＝0这一类.

考点二　分步乘法计数原理的应用

【规律方法】　1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.

2.分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.

考点三　两个计数原理的综合应用

【反思与感悟】

1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.

在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.

2.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.

(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.

3.混合问题一般是先分类再分步.

4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.

【易错防范】

1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行.

2.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步.

3.确定题目中是否有特殊条件限制.