伯努利方程的解法及其应用_高中数学伯努利公式

伯努利方程的解法及其应用_高中数学伯努利公式伯努利方程的形式及其求解方法_伯努利方程高数

伯努利方程的解法及其应用_高中数学伯努利公式

一、伯努利方程的形式

d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n ( 注 意 这 个 n 是 指 n 次 方 而 非 n 阶 导 ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n (注意这个n是指n次方而非n阶导) dxdy+P(x)y=Q(x)ynnnn

观察发现:

  • 一阶方程(导数的次数最高为1次)
  • 当n=0,线性非齐次方程
  • 当n=1,线性齐次方程

一般的非线性方程是很难求解的,上述形式的方程可以通过转换为线性非齐次方程求解。

二、求解步骤

求解思路:化陌生为熟悉,通过换元将非线性方程转换成线性方程。

  1. 先将yn拿到左边,得到: y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) yndxdy+P(x)y1n=Q(x)

  2. 注意到: d y 1 − n d x = d y 1 − n d y ⋅ d y d x = ( 1 − n ) y − n d y d x \Large \frac{dy^{1-n}}{dx} = \frac{dy^{1-n}}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx} dxdy1n=dydy1ndxdy=(1n)yndxdy

  3. 因此,我们将y-n收进去,得到: 1 1 − n d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) 1n1dxdy1n+P(x)y1n=Q(x)

  4. z = y 1 − n z = y^{1-n} z=y1n,得到: d z d x + ( 1 − n ) P ( x ) z = ( 1 − n ) Q ( x ) \frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x) dxdz+(1n)P(x)z=(1n)Q(x)

  5. 发现此时面对的就是一阶线性非齐次常微分方程,带入通解公式即可求得 z = z ( x ) = y 1 − n z=z(x)=y^{1-n} z=z(x)=y1n

  6. 解得: y = z ( x ) 1 − n y= \sqrt[1-n]{z(x)} y=1nz(x)

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