logistic阻滞增长模型优缺点_logistic阻滞增长模型「建议收藏」

1. 阻滞增长Logistic 模型

模型假设: 在独立存在的生物群体中，生物种群数量的变化率${\lambda }_y$ 是一个随着生物种群数量$y$的增加而线性递减的变量 [1]。

问题描述: 不妨令$x$表示时间，$y$表示生物种群的数量，生物种群的变化率为${\lambda }_y$，环境所能容纳的生物种群数量的最大值为$y_m$。 根据Logistic模型的假设，任意给定时间短$\Delta x$，生物种群数量的变化量为 $y(x+\Delta x)-y(x)={\lambda }_{y}y(x)\Delta x$，其中，当$x=0$时刻，$y=y_0$；当$y=0$时刻；${\lambda }_y=\lambda$；当$y=y_m$时刻，${\lambda }_y=0$。试求生物种群的数量$y$和时间$x$的函数。

模型求解: 根据问题描述，如下，

${\lambda }_y=\{\begin{array}{c}\lambda ,y=0\\ 0,y=y_m\end{array}$

根据模型假设，生物种群的变化率${\lambda }_y$是一个随着生物种群数量$y$的增加而线性递减的量，得，

${\lambda }_y=-\frac{\lambda }{y_m}y+\lambda$

根据$y(x+\Delta x)-y(x)={\lambda }_{y}y(x)\Delta x$，取${\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta x$，得微分方程，如下，

$dy={\lambda }_{y}ydx$

$dy=(-\frac{\lambda }{y_m}y+\lambda )ydx$

当$y\in \left(0,y_m\right)$时，有，

$\frac{dy}{y-\frac{y^2}{y_m}}=\lambda dx$

$\frac{y_m}{y_{m}y-y^2}dy=\lambda dx$

$\frac{y_m-y+y}{y_{m}y-y^2}dy=\lambda dx$

$\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{y_m-y}\right)dy=\lambda dx$

方程两边不定积分，如下，

$\int \left(\frac{1}{y}+\frac{1}{y_m-y}\right)dy=\int \lambda dx$

得到原函数，如下，

$lny-ln(y_m-y)=\lambda x+c$

$y=\frac{y_m{e}^{\lambda x+c}}{1+e^{\lambda x+c}}$

代入给定条件$x=0,y=y_0$，进一步求解常数$c$，如下，

$y_0=\frac{y_m{e}^c}{1+e^c}$

$c=ln\left(\frac{y_0}{y_m-y_0}\right)$

将常数$c$代入原函数，得，

$y=\frac{y_m{e}^{\lambda x}\frac{y_0}{y_m-y_0}}{1+e^{\lambda x}\frac{y_0}{y_m-y_0}}$

$y=\frac{y_m}{1+\left(\frac{y_m}{y_0}-1\right)e^{-\lambda x}}$

2. 小结与展望

阻滞增长Logistic 模型和马尔萨斯模型唯一的区别在于生物种群数量的变化率${\lambda }_y$的定义。具体地说，马尔萨斯模型认为生物种群数量的变化率${\lambda }_y$为常数$\lambda$ [2]。阻滞增长Logistic模型认为生物种群数量的变化率${\lambda }_y$是一个随着生物种群数量$y$的增加而线性递减的量 [1]。进一步的工作主要包括分析Logistic模型的各个阶段，包括加速增长曲线，减速增长曲线 [3] 等。

参考资料

[1] 阻滞增长Logistic模型 https://wenku.baidu.com/view/9f843184a0116c175f0e4862.html
[2] 马尔萨斯模型 逻辑斯蒂 (阻滞增长) 模型的分析和应用
[3] 阻滞增长至加速/减速分析 http://cooc.cqmu.edu.cn:9001/Course/KnowledgePoint/5842.aspx

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