拉普拉斯变换法分析电路_RLC电路拉普拉斯变换

补充知识

零状态响应

• 零状态响应是指电路的外加激励源为零的情况下，由动态元件的初始储能引起的响应。

• 零输入响应是指电路的初始状态为零（即换路前电容电压为零，电感电流为零），由外加激励源产生的响应。

0-1、阶跃函数

• 该函数在 t>0时幅值为1，在 t<0 时幅值为-0，在 t=0时函数没有定义但为有限值

定义

延时的阶跃函数

• 单位阶跃响应是指零状态网络对单位阶跃输入信号的响应。

0-2、冲激函数

• 单位冲激函数是宽度为0、高度为$\infty$、面积为1的特殊函数

定义

延时的单位冲激函数

一、拉普拉斯变换的定义

1-1.拉普拉斯变换

• $f(t)$是（$-\infty$，$+\infty$） 上的时间函数
• 将一般形式的时域函数 $f（t）$变换为相应的复频域函数$F（s）$

1-2.拉普拉斯逆变换

• $f（s）$为 $f（t）$的象函数，$f（t）$为$F（s）$的原函数
• 用符号表示为
  
• 用双向箭头表示为
  

1-3单边拉普拉斯变换

• t $\ge$ 0时，才有意义。

二、基本函数的拉普拉斯变换

三、拉普拉斯变换的基本性质

1.线性性质

2.时移性质

• 时移性质表明，如果一个函数延时$t_0$秒，则象函数应乘以 e^-st。。($t_0$)

3.负频域位移

4.尺度变换

5.时域微分性质

• 时域微分性质表明，时域中的一阶微分运算，对应于复频域中乘以s的运算，并计人$f（0-）$初始条件。

6.时域积分性质

• 时域积分性质表明，时域中从$0-$到$t$的积分运算，对应于复频域中除以s的运算。

7.初值定理

8.终值定理

9.复频域微分

10.复频域积分

11.时域卷积性质

四、 拉普拉斯逆变换

已知象函数 $F（s）$，怎样得到时域原函数 $f（t）$

• 当m<n时，$F(s)$为有理真分式，可以直接应用部分分式展开法。
• m≥n时候，$F(s)$称为有理假分式，必须先将 $F(s)$分解为多项式和有理真分式的和，

4-1.部分分式展开法

部分分式展开法求解拉普拉斯逆变换的求解过程

首先找出 $F(s)$的极点，然后将 $F(s)$展开成部分分式，最后使用变换表和性质求得$f(t)$。

• $F(s)$的零点——>$F(s)$=0
• $F(s)$的极点——>$F(s)$=$\infty$

4-1-1单实数极点

• 法1和法2二选一
  
  

4-1-2.极点存在共轭复数

• 待定系数法
• 配方法
• 二选一呀
  

4-1-3.重极点

4-2用部分分式展开法求解拉普拉斯逆变换时象函数 F（s）存在的一些特殊情况。

五、 电路的复频域模型

5-1电阻

5-2 电感

• $sL$具有阻抗 的量纲，称为电感的复频域阻抗或运算阻抗

5-3电容

• $\frac{1}{sC}$具有阻抗 的量纲，称为电容的复频域阻抗或运算阻抗

5-4耦合电感

对含有耦合电感的电路也可以先用去耦法对电路去耦先得出去耦等效电路，再得出复频域等效电路

5-5复频域阻抗和导纳

5-6基尔霍夫定律的复频域形式

s域中阻抗和导纳运算的规则与频域相同，因此，串、并联化简和△-Y转换对s域分析也同样适用。

六、 线性电路的复频域分析

1. 据0_等效电路，求出 $u_c（0-）$和$i_l（0-）$，以确定复频域电路中反映初始条件的附加电源。
2. 求激励源的拉普拉斯变换，得激励源的象函数。
3. 画出换路后的复频域电路（运算电路）。
4. 应用复频域形式的基尔霍夫定律和元件的电压电流关系》分析复频域电
   路，求出响应的象函数即复频域解。这里可以使用前面介绍的电阻电路分析的各种方法。
5. 运用拉普拉斯变换表和部分分式展开法，对响应的象函数进行拉普拉斯
   逆变换，确定待求响应的时域解。通过以上步骤，可见复频域分析法和相邀法思路相同。
   

七、网络函数

7-1.网络函数的定义

网络函数定义为电路的零状态响应的象函数$Y(s)$与激励的象函数$F(s)$的比值，用 $H(s)$表示

电路的零状态响应象函数$Y（s）$ = 激励的象函数$F(s)$ X 网络函数 $H(s)$

7-2.网络函数与单位冲数响应

单位冲激响应 $h(t)$是单位冲激函数$\delta (z)$激励下的零状杰响应
设电路的激励源是单位冲激函数$\delta (z)$，则激励象函数为

此时系统的零状态响应就是单位冲激响应 $h(t)$，响应象函数为

某一冲激响应的拉普拉斯变换等于该响应对激励的网络函数

或单位冲激响应等于网络函数的拉普拉斯逆变换

7-3.网络函数的零、极点

7-3-1.网络函数的零、极点与单位冲激响应的关系

7-3-2网络函数 H（s）的零点与冲激响应 h（t）的关系

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