混合策略纳什均衡一定存在吗_子博弈完美纳什均衡例题

上一章中遇到了划线法无法找到均衡的情况，例如盖硬币博弈，盖方盖硬币，猜方猜正反。那是因为考虑的都是纯策略，就是每个策略要么选，要么不选。本章考虑混合策略，就是每个策略都有一个选择的概率。

考虑还是这个盖硬币的博弈，混合策略就是盖方以p的概率盖正，那么就是1-p的概率盖反，猜方同理。p是连续的取值，而如果退化成p只能取1或0，那就退化成原来的纯策略了。

一、寻找纳什均衡

考虑这样一个博弈，均衡就是，给定A的混合策略(p, 1-p)，B的混合策略(q, 1-q)，双方都不能改变自己的策略来使自己的收益增加。

换句话说，就是给定p，B的任何混合策略的期望都一样，给定q，A的任何混合策略的期望都一样。

这样计算E(B1(p))=E(B2(p))

               E(A1(q))=E(B2(q))

解出来就可以得到均衡。

3P+(1-p)=2p+5(1-p)

2p+1=-3p+5

5p=4

P=0.8

2q+5(1-q)=3q+(1-q)

-3q+5=2q+1

-5q=-4

Q=0.8

NE就是{(0.8, 0.2), (0.8, 0.2)}

这里有两个问题

1.为什么这两个纯策略期望一样了，所有的混合策略的期望就都一样了？

考虑混合策略的期望，E=q*E(B1(p)) + (1-q)*E(B2(p))，要对于任意的q，E的值都相等，那是不是只要E(B1(p))=E(B2(p))就好了。

2.这样算出来可能有多个均衡吗，为什么

可能有多个均衡，如果E(B1(p))和E(B2(p))两边的p消了，那取任意的p，这个等式都恒成立了，那任意的p就都是均衡。

二、计算混合策略收益

法一、直接计算

还是刚才这个例子，均衡之后，每个格子就有自己相应的概率了，每个格子相应的概率乘上对应的人的收益，最后求和就是均衡下这个人的期望收益。

UA=0.8*0.8*2+0.8*0.2*5+0.2*0.8*3+0.2*0.2*1=2.6

UB=0.8*0.8*3+0.8*0.2*2+0.2*0.8*1+0.2*0.2*5=2.6

法二、巧算

既然均衡了，那么就是意味着，A取均衡这一策略，B取任意策略收益都一样，那么我在算B的收益的时候，我就可以固定A为均衡，B的策略取个简单的例如(1, 0)，这样可以减少一半的计算，反之亦然。

那么刚才那个每个格子的概率重新写下（算Ｂ）

UB=3*0.8+1*0.2=2.6

算A

UA=3*0.8+1*1*0.2=2.6

三、计算混合策略反应函数

这里考虑的是二人博弈，且每人只有两个策略，那么函数就是给定A选择他策略1的概率p，B选择他策略1的概率q应该是多少，所以两个人是两个函数，p=f(q), q=f(p)

二人博弈所以可以化成二维的图

两个策略所以期望是1次函数，不消掉概率的情况下只有一个均衡。

那么满足这两个条件，这类博弈的反应函数就都可以表示为分段函数

把两个分段函数画在一张图，刚才的例子

定理：反应函数交点是纳什均衡，这是充要条件。

下面附画图python代码

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

NEp=0.8
NEq=0.8

# 创建一个细分的p和q值数组
p_values = np.linspace(0, 1, 500)
q_values = np.linspace(0, 1, 500)

# 初始化Q(p)和p(q)的值
Q_values = np.where(p_values < NEp, 1, np.nan)
Q_values = np.where(p_values > NEp, 0, Q_values)

p_q_values = np.where(q_values < NEq, 0, np.nan)
p_q_values = np.where(q_values > NEq, 1, p_q_values)

# 绘制Q(p)
plt.plot(p_values, Q_values, label='q=f(p)')

# 绘制p(q), 并且交换x和y轴的值
plt.plot(p_q_values, q_values, label='p=f(q)')

# 设置图例
plt.legend()

# 设置x和y轴的标签
plt.xlabel('p')
plt.ylabel('q')

# 设置标题
plt.title('Reaction Function')

# 显示网格
plt.grid(True)

# 显示图形
plt.show()

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