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整除的数学符号 “ | ”
数学符号“∣”的意义,如a∣b：
‘|’为整除符号，对于整数a,b(a≠0),若存在整数k,使b=ka,则称a整除b,或b能被a整除,记为a∣b。
整除的性质 1
性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。
证明： 如果数a、b都能被c整除，即、a，b为 c 的倍数，故其和差都能被 c 整除
整除的性质 2
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
证明：显而易见，不多解释
能被2整除的数
能被2整除的数：个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除
证明： 奇数偶数判定
能被3整除的数
能被3整除的数：各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除
证明：
假设该数为 abcd ，则abcd = a*1000 + b*100 + c*10 + d ，进一步分解为 (a*999 + b*99 + c*9) + （a + b + c + d），可知 3 | (a * 999 + b * 99 + c * 9) ，所以判断一个数是否能被 3 整除，仅需判断 3 | (a + b + c + d) 即可，即、每一位的数字之和能否被 3 整除
能被4整除的数
能被4整除的数：个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除
证明：
假设该数为 abcd，我们可知，4 | 100，拓展为 4 | 100 * n 。abcd = （a * 1000 + b * 100） + cd知 4 | ( a * 1000 + b * 100) ，判断 4 | abcd，仅需判断 cd 即可，若 4 | cd 则此数可以整除4
能被5整除的数
能被5整除的数：个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除
证明：显而易见，个位上位 0 或 5 的数为 5 的倍数，可以整除 5
能被6整除的数
能被6整除的数：各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除
证明：将判断 2 和 3 的整除结合起来
能被7、11、13整除的数
能被7整除的数：这个数的末三位数与除末三位数的数字组成的数之差能被7、11、13整除，则 7|a, 11|a , 13|a 。
证明：
首先了解同余公式
1、（a + b) % c = (a % c + b % c ) % c
2、（a * b ) % c = (a % c) * (b % c)
其次我们知道： 7 * 11 * 13 = 1001
假设 n 为 abcdefg = (abcd * 1000) +efg
（1000） % 1001
= (1001 – 1) % 1001
= (1001 % 1001 + -1 % 1001) % 1001
= -1
所以：
( (abcd * 1000) +efg ) % 1001
= [ ( abcd % 1001) * ( 1000 % 1001) % 1001 + efg % 1001]
= (abcd % 1001) * (-1) + edg % 1001
= ( -abcd + efg) % 1001
证毕
该证明参考以下博客：
能被7、11、13整除的判定方法的证明
其他的方法（共10种），选择合适的方法即可
链接如下：
怎样判断一个数能否被7整除
能被8整除的数
能被8整除的数：一个整数的末3位若能被8整除，则该数一定能被8整除。
证明：与整除 4 的证明类似，1000 / 8 = 125，即，8 | 1000 成立，所以只判断后三位即可
能被9整除的数
能被9整除的数：各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除
证明：首先证明能该数被3整除，即个数位数字和能被3整除，再判断能否再被3整除，总结起来就是，个数位数字和能被9整除
能被10整除的数
能被10整除的数：如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）
证明：显而易见，，
能被11整除的数
能被11整除的数：奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。(奇偶位差法）
证明：
首先了解同余公式
1、（a + b) % c = (a % c + b % c ) % c
2、（a * b ) % c = (a % c) * (b % c)
我们知道10%11=10，10=11-1 ，所以（11-1）%11 = -1
拓展 10^n % 11 = (11-1) ^n % 11 = (-1) ^ n %11
假设 n 为 abcdefg
abcdefg % 11 = (a * 1^6 + b * 1^5 + c * 1^4 + d * 1^3 + e * 1^2 + f * 1^1 + g) % 11
= ( a * (-1) ^6 + b * (-1) ^5 + c * (-1) ^4 + d * (-1) ^3 + e * (-1) ^2 + f * (-1) ^1 + g) % 11
= ( a – b + c – d + e – f + g ) % 11
即为（奇数项与偶数项的差）% 11
能被13整除的数
能被13整除的数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
能被17整除的数
能被17整除的数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
另一种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除
能被19整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
另一种方法：若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除
能被23整除的数
能被23整除的数：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除
能被25整除的数
能被25整除的数：十位和个位所组成的两位数能被25整除。
能被125整除的数
能被125整除的数：百位、十位和个位所组成的三位数能被125整除。
今天的文章能被2、3、4、5、6、7、8、9、11、13等数整除的数的特征（含详细证明）分享到此就结束了，感谢您的阅读。
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