能被2、3、4、5、6、7、8、9、11、13等数整除的数的特征(含详细证明)

能被2、3、4、5、6、7、8、9、11、13等数整除的数的特征(含详细证明)目录整除的数学符号“|”整除的性质1整除的性质2能被2整除的数能被3整除的数能被4整除的数能被5整除的数能被6整除的数能被7、11、13整除的数能被8整除的数能被9整除的数能被10整除的数能被1

能被2、3、4、5、6、7、8、9、11、13等数整除的数的特征(含详细证明)

目录

整除的数学符号 “ | ” 

整除的性质 1 

整除的性质 2

能被2整除的数

能被3整除的数

能被4整除的数

能被5整除的数

能被6整除的数

能被7、11、13整除的数

能被8整除的数 

能被9整除的数

能被10整除的数

能被11整除的数

能被13整除的数

能被17整除的数

能被23整除的数 

能被25整除的数

能被125整除的数


整除的数学符号 “ | ” 

数学符号“∣”的意义,如a∣b:

‘|’为整除符号,对于整数a,b(a≠0),若存在整数k,使b=ka,则称a整除b,或b能被a整除,记为a∣b。

整除的性质 1 

性质1:如果数a、b都能被c整除,那么它们的和(a+b)或差(a-b)也能被c整除。

证明: 如果数a、b都能被c整除,即、a,b为 c 的倍数,故其和差都能被 c 整除

整除的性质 2

性质2:几个数相乘,如果其中有一个因数能被某一个数整除,那么它们的积也能被这个数整除。

 证明:显而易见,不多解释

能被2整除的数

能被2整除的数个位上的数能被2整除(偶数都能被2整除),那么这个数能被2整除

证明: 奇数偶数判定

能被3整除的数

能被3整除的数各个数位上的数字和能被3整除,那么这个数能被3整除

 证明

        假设该数为 abcd ,则abcd = a*1000 + b*100 + c*10 + d ,进一步分解为 (a*999 + b*99 + c*9) + (a + b + c + d),可知 3 | (a * 999 + b * 99 + c * 9) ,所以判断一个数是否能被 3 整除,仅需判断 3 | (a + b + c + d)  即可,即、每一位的数字之和能否被 3 整除

能被4整除的数

能被4整除的数个位和十位所组成的两位数能被4整除,那么这个数能被4整除

 证明

        假设该数为 abcd,我们可知,4 | 100,拓展为 4 | 100 * n 。abcd = (a * 1000 + b * 100) + cd知 4 | ( a * 1000 + b * 100) ,判断 4 | abcd,仅需判断 cd 即可,若 4 | cd 则此数可以整除4

能被5整除的数

能被5整除的数个位上为0或5的数都能被5整除,那么这个数能被5整除

 证明:显而易见,个位上位 0 或 5 的数为 5 的倍数,可以整除 5 

能被6整除的数

能被6整除的数各数位上的数字和能被3整除的偶数,如果一个数既能被2整除又能被3整除,那么这个数能被6整除

 证明:将判断 2 和 3 的整除结合起来

能被7、11、13整除的数

能被7整除的数:这个数的末三位数与除末三位数的数字组成的数之差能被7、11、13整除,则  7|a,  11|a  ,  13|a 。

证明

首先了解同余公式

1、(a + b) % c = (a % c + b % c ) % c

2、(a * b ) % c = (a % c) * (b % c) 

其次我们知道: 7 * 11 * 13 = 1001

假设 n 为 abcdefg = (abcd * 1000)  +efg

(1000) % 1001

= (1001 – 1) % 1001

= (1001 % 1001 + -1 % 1001) % 1001

= -1

所以:

( (abcd * 1000)  +efg ) % 1001

= [ ( abcd % 1001) * ( 1000 % 1001) % 1001 + efg % 1001]

= (abcd % 1001) * (-1) + edg % 1001

= ( -abcd + efg) % 1001

证毕    

该证明参考以下博客:

能被7、11、13整除的判定方法的证明

其他的方法(共10种),选择合适的方法即可

链接如下:

怎样判断一个数能否被7整除

能被8整除的数 

能被8整除的数:一个整数的末3位若能被8整除,则该数一定能被8整除。

 证明:与整除 4 的证明类似,1000 / 8 = 125,即,8 | 1000 成立,所以只判断后三位即可

能被9整除的数

能被9整除的数各个数位上的数字和能被9整除,那么这个数能被9整除

 证明:首先证明能该数被3整除,即个数位数字和能被3整除,再判断能否再被3整除,总结起来就是,个数位数字和能被9整除

能被10整除的数

能被10整除的数如果一个数既能被2整除又能被5整除,那么这个数能被10整除(即个位数为零)

 证明:显而易见,,

能被11整除的数

能被11整除的数奇数位(从左往右数)上的数字和与偶数位上的数字和之(大数减小数)能被11整除,则该数就能被11整除。(奇偶位差法)

证明

首先了解同余公式

1、(a + b) % c = (a % c + b % c ) % c

2、(a * b ) % c = (a % c) * (b % c) 

我们知道10%11=10,10=11-1 ,所以(11-1)%11 = -1

拓展 10^n % 11 = (11-1) ^n % 11 = (-1) ^ n %11

假设 n 为 abcdefg

abcdefg % 11 = (a * 1^6 + b * 1^5 + c * 1^4 + d * 1^3 + e * 1^2 + f * 1^1 + g) % 11

=  ( a * (-1) ^6 + b * (-1) ^5 + c * (-1) ^4 + d * (-1) ^3 + e * (-1) ^2 + f * (-1) ^1 + g) % 11

= ( a – b + c – d + e – f + g ) % 11

即为(奇数项与偶数项的差)% 11

能被13整除的数

能被13整除的数:若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除。

如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。

能被17整除的数

能被17整除的数:若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。

如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。

   另一种方法:若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除

能被19整除的数,若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。

另一种方法:若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除

能被23整除的数 

能被23整除的数:若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除

能被25整除的数

能被25整除的数:十位和个位所组成的两位数能被25整除。

能被125整除的数

能被125整除的数:百位、十位和个位所组成的三位数能被125整除。

今天的文章能被2、3、4、5、6、7、8、9、11、13等数整除的数的特征(含详细证明)分享到此就结束了,感谢您的阅读。

版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 举报,一经查实,本站将立刻删除。
如需转载请保留出处:https://bianchenghao.cn/83574.html

(0)
编程小号编程小号

相关推荐

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用 * 标注