叉积的运算公式_叉积的运算公式

  设a, b, c为R³上的三个向量，λ, μ为两个标量，×表示两向量之间的叉积，·表示两向量之间的数量积。则：
  

1. 叉积的定义

  a与b的叉积为一向量，记为a×b。记a与b之间的夹角为θ，则它的模与方向分别为：

1. 模：|a×b| = |a||b|sinθ
2. 方向：垂直于a与b所构成的平面，且满足右手法则

2. 叉积的代数规则

1. 反交换律：a×b = -b×a。
2. 分配律：a×(b+c) = a×b+a×c。
3. 与标量乘法兼容：(λa)×b = a×(λb) = λ(a×b)。
4. 数乘结合律：(λa)×(μb) = (λμ)(a×b)
5. 雅可比恒等式：a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b) = 0。
6. 分配律，线性性和雅可比恒等式表明：具有向量加法和叉积的R³构成了一个李代数。
7. 两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b = 0。

3. 拉格朗日公式

1. (a×b)×c = b(a·c)-a(b·c)
2. a×(b×c) = b(a·c)-c(a·b)

  可以使用拉格朗日公式第2条证明代数规则第5条的雅可比恒等式：

  a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)
= b(a·c)-c(a·b)+c(b·a)-a(b·c)+a(c·b)-b(c·a)
= [a(c·b)-a(b·c)]+[b(a·c)-b(c·a)]+[c(b·a)-c(a·b)]
= 0

4. 向量的混合积

• (a×b)·c = (b×c)·a = (c×a)·b

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