子空间维数和秩的关系_生成子空间的基

【矩阵论专栏】

A 子空间定义

<1> 定义1（子空间）：设$V$是数域$F$上的线性空间，$W$是$V$的子集，若对$W$中的任意元素$\alpha$,$\beta$,及数$k\in F$,按$V$中的加法和数乘有：$$1)\alpha +\beta \in W$$$$2)k\alpha \in W$$则$W$也是数域$F$上的线性空间，称$W$为$V$的线性子空间，简称子空间

注：

• 由单个零元素组成的子集 { 0 } \{0\} {
  0}是线性子空间；
• 线性空间$V$是线性子空间。
  $0$与$V$是称为$V$的平凡子空间。
• dim{0}=1

B 常见的子空间

<1> 设$A$是一给定的$m\ast n$实矩阵，记 N ( A ) ≜ { x ∈ R n ∣ A x = 0 } N(A)\triangleq\{x\in \mathbb{R}^n| Ax=0\} N(A)≜{
x∈Rn∣Ax=0} R ( A ) ≜ { A x ∣ x ∈ R n } R(A) \triangleq\{Ax|x\in\mathbb{R}^n\} R(A)≜{
Ax∣x∈Rn}则称$N(A)$是${\mathbb{R}}^n$的子空间，称为$A$的零空间。
则$R(A)$是${\mathbb{R}}^n$的子空间，称为A的列空间。$$dimN(A)=n-rankA=n-r$$$Ax=0$基础解析的个数等于$n-r$
$$dimR(A)=rankA=r$$$AX这个向量，可以看成A每一列的线性组合，所以A所有列的极大线性无关组就可以构成R(A)的基$。

<2> 设 { α 1 , α 2 , . . . , α r } \{\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_r\} {
α1​,α2​,...,αr​}是线性空间$V$的一向量组，记 s p a n { α 1 , α 2 , . . . , α r } = { α = ∑ i = 1 r k i α i ∣ k 1 , k 2 , . . . , k r ∈ F } span\{\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_r\}=\{\alpha=\sum_{i=1}^rk_i\alpha_i|k_1,k_2,…,k_r\in F\} span{
α1​,α2​,...,αr​}={
α=i=1∑r​ki​αi​∣k1​,k2​,...,kr​∈F}则 s p a n { α 1 , α 2 , . . . , α r } span\{\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_r\} span{
α1​,α2​,...,αr​}是$V$的子空间，称为由 { α 1 , α 2 , . . . , α r } \{\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_r\} {
α1​,α2​,...,αr​}张成的子空间。
即把 { α 1 , α 2 , . . . , α r } \{\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_r\} {
α1​,α2​,...,αr​}所有的线性组合形成的向量放在一起，形成的集合。解决了抽象线性空间中子集(即子空间)的描述。

注：

• 若 { α 1 , α 2 , . . . , α m } \{\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m\} {
  α1​,α2​,...,αm​}是子空间$W$的基，则有 W = s p a n { α 1 , α 2 , . . . , α m } W=span\{\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m\} W=span{
  α1​,α2​,...,αm​}
• 设$A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$,记$A=[A_1,A-2,...,A_n]$,其中$A_i\in {\mathbb{R}}^m,i=1,2,...,n$.则有 R ( A ) = { A x ∣ x ∈ R n } = s p a n { A 1 , A 2 , . . . , A n } R(A)=\{Ax|x\in\mathbb{R}^n\}=span\{A_1,A_2,…,A_n\} R(A)={
  Ax∣x∈Rn}=span{
  A1​,A2​,...,An​}

<3>例题：

C 基扩张定理

<1>定理1 设4 { α 1 , α 2 , . . . , α r } \{\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_r\} {
α1​,α2​,...,αr​}是$V^n$中一组线性无关向量，则存在$V^n$中$n-r$个向量${\alpha }_{r+1},{\alpha }_{r+2},...,\alpha n$,使得 { α 1 , α 2 , . . . , α r , α r + 1 , α r + 2 , . . . , α n } \{\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_r,\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},…,\alpha_n\} {
α1​,α2​,...,αr​,αr+1​,αr+2​,...,αn​}构成$V^n$的基。

D 和空间与交空间

<1>设$W_1$和$W_2$均是线性空间$V^n$的子空间

• $W_1\bigcup W_2$不是线性空间$V^n$的子空间。
  

由定义1，对加法不封闭。

• $W_1\bigcap W_2$是仍然是线性空间$V^n$的子空间。
  

<2>定义2（和空间和交空间）：设$W_1$与$W_2$是线性空间$V$的两个子空间，令 W 1 ⋂ W 2 = { α ∈ V ∣ α ∈ W 1 且 α ∈ W 2 } W_1\bigcap W_2=\{\alpha \in V | \alpha\in W_1且 \alpha\in W_2\} W1​⋂W2​={
α∈V∣α∈W1​且α∈W2​} W 1 + W 2 = { α ∈ V ∣ α = α 1 + α 2 , α 1 ∈ W 1 , α 2 ∈ W 2 } W_1+W_2=\{\alpha\in V| \alpha=\alpha_1+\alpha_2, \alpha_1\in W_1,\alpha_2\in W_2\} W1​+W2​={
α∈V∣α=α1​+α2​,α1​∈W1​,α2​∈W2​}
称$W_1\bigcap W_2$为$W_1$与$W_2$的交空间。
称$W_1+W_2$为$W_1$与$W_2$的和空间。

注：

• $W_1+W_2是V的子空间$；
• 设 W 1 = s p a n { α 1 , . . . , α r , β 1 , . . . , β m } W_1=span\{\alpha_1,…,\alpha_r,\beta_1,…,\beta_m\} W1​=span{
  α1​,...,αr​,β1​,...,βm​}

<3> 定理2（维数公式)设$W_1$与$W_2$是线性空间$V$的两个子空间，则有：$$dim(W_1+W_2)+dim(W_1\bigcap W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)$$

例题：
修改：$[-5,2,3,7]>>[-5,2,3,4{]}^T$

和空间$W_1+W_2$中的向量一定可以分解成两个向量之和，其中一个向量属于$W_1$,另一个输入$W_2$,即$$\forall \xi \in W_1+W_2,\exists {\alpha }_1\in W_1，{\alpha }_2\in W_1$$$$s.t.\xi ={\alpha }_1+{\alpha }_2$$

例子：

E 直和

<1> 定义3（直和）设$W_1+W_2$中的任一向量只能唯一地分解为$W_1$中的一个向量与$W_2$中的一个向量之和，则称$W_1+W_2$为$W_1$与$W_2$的直和，记为：$W_1\oplus W_2$.

<2>定理3（直和等价条件）：

• 1)$W_1+W_2=W_1\oplus W_2$
• 2) W 1 ⋂ W 2 = { 0 } W_1\bigcap W_2=\{0\} W1​⋂W2​={
  0}
• 3)$dim(W_1+W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)$
• 4)$0={\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_1\in W_1,{\alpha }_2\in W_2,则有{\alpha }_1=0,{\alpha }_2=0$.
  

例题：

总结：子空间本身是子集，子集是有运算的，有交和并，但是并完后的空间不是线性空间（对加法不封闭），所以扩展出和空间。由于和空间分解不唯一，把分解唯一的和专门拿出来，叫做直和。

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