【电机学复习笔记】变压器的瞬态过程[通俗易懂]

当变压器突然改变负载、空载合闸到电源、二次绕组突发短路或受到过电压冲击等，变压器各电磁量发生骤烈的变化，这些情况叫做瞬态情况。在瞬态情况中，变压器从一种稳定运行状态过渡到另一种稳定运行状态的过程称为瞬态过程（过渡过程）。
对于变压器的瞬态，主要讨论空载合闸和突然短路时的过电流现象。

1 变压器空载合闸时的瞬态过程

空载合闸：变压器副边开路空载，原边合闸接到电源（如下图所示）

分析：
变压器空载时，原边电压按正弦规律变化：
$$u_1=\sqrt{2}{U}_1\sin (\omega t+\alpha )$$
那么，合闸时，变压器原边回路的电动势方程为：
$$\sqrt{2}{U}_1\sin (\omega t+\alpha )=i_0{r}_1+N_1\frac{d{\Phi }_t}{dt}$$

由于变压器铁心存在饱和现象，上式是一个非线性微分方程，为了求解，我们作线性化的处理

认为整个瞬态过程中，铁心饱和程度不变，并以运行点的饱和程度作为瞬态过程中的饱和程度，于是电流i，可用下式表示：
$$i_0=N_1\frac{{\Phi }_t}{L_{av}}$$
其中$L_{av}$为对应于运行点原绕组的平均电感

此时，合闸时变压器原边回路的电动势方程变为一阶微分方程：
$$\sqrt{2}{U}_1\sin (\omega t+\alpha )=N_1\frac{r_1}{L_{av}}{\Phi }_t+N_1\frac{d{\Phi }_t}{dt}$$
解这个常系数非齐次微分方程可得：
$${\Phi }_t={\Phi }_m\sin (\omega t+\alpha -\theta )+C{e}^{-\frac{r_1}{L_{av}}t}$$

微分方程化简：
在变压器中，$r_m<<x_m$，因此$r_1<<\omega L_{av}$因此有：
$${\Phi }_m=\frac{\sqrt{2}{U}_1}{N_1\sqrt{{\omega }^2+(\frac{r_1}{L_{av}}{)}^2}}\approx \frac{\sqrt{2}{U}_1}{N_1\cdot 2\pi f}=\frac{U_1}{4.44f{N}_1}$$

$$\theta ={\tan }^{-1}\frac{\omega L_{av}}{r_1}\approx 90^{。}$$
设投入电网时，变压器内无剩磁，即${\Phi }_{(t=0)}=0$（初始条件），此时：
$$C={\Phi }_m\cos \alpha$$

可得，空载合闸时变压器磁通为：
$${\Phi }_t=-{\Phi }_m\cos (\omega t+\alpha )+{\Phi }_m\cos \alpha e^{-\frac{r_1}{L_{av}}t}$$
由上式可知：
1、当$\alpha =90^{。}$时合闸：
$${\Phi }_t=-{\Phi }_m\cos (\omega t+90^{。})={\Phi }_m\sin \omega t$$
合闸后立即进入稳定状态，不会发生瞬态过程

2、当$\alpha =0^{。}$时合闸：
$${\Phi }_t=-{\Phi }_m\cos \omega t+{\Phi }_m{e}^{-\frac{r_1}{L_{av}}t}$$
自由分量是直流指数衰减量，$\omega t=180^{。}$时，在不考虑自由分量的衰减时，变压器的总磁通为$2{\Phi }_m$，同时考虑变压器内部剩磁，当剩磁方向与自由分量磁通方向一致时，总磁通可达$(2.2-2.3){\Phi }_m$。

根据磁化曲线：
变压器正常运行时，磁路设计得已经有点饱和，若在最不利的空载接通电源，磁通可能超过两倍的，铁心非常饱和，励磁电流很大，可达额定电流的4-6倍（超过稳态励磁电流80~100倍），这种现象称为激磁涌流。

在变压器空载接通电源的过程中，随着自由分量磁通的衰减，励磁电流也要衰减，衰减的时间常数为：
$$T_1=\frac{L_{av}}{r_1}$$

一般小型变压器电阻大，时间常数小衰减得快，约几个周波即可达到稳态；
大型的变压器衰减得慢一些，有时可达十几秒。

1、空载合闸电流对变压器本身没有多大危害，但若衰减较慢时，可能引起过电流保护装置动作而跳闸。
为了避免这种情况，在变压器原边串一个附加电阻，这样可减少冲击量，也可使冲击迅速衰减，合闸完毕，再将该电阻切除。

2、由于三相变压器三相互差120°，相位总会在合闸时有一相初相位接近于零，总会有一相电流较大。

2 变压器副边突然短路的瞬态过程

变压器稳态短路电流已经是额定电流的十几倍到二十几倍左右，突然短路电流比稳态电流还要大，同时产生的冲击电流会使机械力增大。

分析：
忽略励磁电流影响，且磁路不饱和，电感可视为常数，所以关于短路电流的微分方程为：
$$\sqrt{2}{U}_1\sin (\omega t+\alpha )=i_k{r}_k+L_k\frac{d{i}_k}{dt}$$
解微分方程可得：
$$i_k=\frac{\sqrt{2}{U}_1}{\sqrt{r_k^2+x_k^2}}\sin (\omega t+\alpha -{\phi }_k)+C{e}^{-\frac{t}{T_k}}$$

微分方程化简：
变压器突然短路电流稳态分量赋值：
$$\sqrt{2}{I}_k=\frac{\sqrt{2}{U}_1}{\sqrt{r_k^2+x_k^2}}$$
自由分量衰减时间常数：
$$T_k=\frac{L_k}{r_k}$$
在变压器中，$r_k<<x_k$，因此$r_k<<\omega L_k$因此有：

$${\phi }_k={\tan }^{-1}\frac{\omega L_k}{r_k}\approx 90^{。}$$
变压器突然短路前一般在负载运行，由于负载电流比短路电流小很多，故可略去不记，即$i_{k(t=0)}=0$（初始条件），此时：
$$C=\sqrt{2}{I}_k\cos \alpha$$

可得，负载短路时变压器短路电流为：
$$i_k=-\sqrt{2}{I}_k\cos (\omega t+\alpha )+\sqrt{2}{I}_k\cos \alpha e^{-\frac{t}{T_k}}$$
由上式可知：
1、当$\alpha =90^{。}$时发生短路：
$$i_k=\sqrt{2}{I}_k\sin (\omega t)$$
短路后立即进入稳定状态，不会发生瞬态过程，短路电流最小

1、当$\alpha =0^{。}$时发生短路：
$$i_k=-\sqrt{2}{I}_k(\cos \omega t-e^{-\frac{t}{T_k}})$$

对应电流如上图变化
可见，在$\omega t=\pi$的瞬间，$i_k$最大：
$$i_{kmax}=\sqrt{2}{I}_k(1+e^{\frac{\pi }{T_k}})$$
定义：$k_y=1+e^{\frac{\pi }{T_k}}$为突然短路电流最大值与稳态短路电流最大值的比值，易知其大小与时间常数$T_k$有关
当采用标幺值表示时：
$$i_{kmax}^{\ast }=\frac{i_{kmax}}{\sqrt{2}{I}_N}=k_y\frac{I_k}{I_N}=k_y\frac{U_{1N}}{I_N{z}_k}=k_y\frac{1}{z_k^{\ast }}$$
上式表明，短路电流标幺值与短路阻抗标幺值成反比；
突然短路产生很大的冲击电流，进而产生很大的电磁力，对变压器有严重影响。为了限制，短路阻抗不宜太小，但从减小变压器的电压调整率ΔU来看，又不宜过大，因此在设计变压器时，必须全面考虑数值的选择。

过大短路电流对变压器的影响具体为：

1、突然短路时变压器绕组受到很大的机械力的影响

2、产生很大铜耗变压器有烧毁的可能

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