样本方差和总体方差一样吗_统计学总体标准差怎么算

统计学基础之样本方差与总体方差

参考资料：https://www.cnblogs.com/zzdbullet/p/10087196.html

1. 方差（variance）的定义

方差是用来度量随机变量和其数学期望（均值）之间的偏离程度的一个统计量。

统计学中（所有样本）的总体方差公式：

$${\sigma }^2=\frac{\sum (X-\mu {)}^2}{N}\text{\hspace{1em}(1–1)}$$
其中${\sigma }^2$是总体方差，$X$是随机变量，$\mu$是总体均值（有时也用$\bar{X}$表示），$N$是总体样本数。这里提到的样本，是基于样本数量$N$（几乎）无限的假设。对应的各个统计量，也是所有的样本所服从的分布的真实参数，是客观正真实的。

2. 样本方差

现实情况中，我们往往得不到所有的无限样本，而只能抽样出一定数量的有限样本。通过有限的样本来计算的方差，称为样本方差，公式如下：
$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2\text{\hspace{1em}(2–1)}$$
注意上式的系数和总体方差公式里面的系数不一样，分母是$n-1$。为什么不用$n$作为分母呢？这是因为如果沿用总体方差的公式得到的样本方差，是对方差的一个有偏估计。用$n-1$作为分母的样本方差公式，才是对方差的无偏估计。

3. 总体方差公式的有偏性证明

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2& =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left[(X_i-\mu )+(\mu -\bar{X})\right]}^2\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2+\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu )(\mu -\bar{X})+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(\mu -\bar{X}{)}^2\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2+2(\bar{X}-\mu )(\mu -\bar{X})+(\mu -\bar{X}{)}^2\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2-(\mu -\bar{X}{)}^2\end{array}\text{\hspace{1em}(3–1)}$$
换言之，除非正好有$\bar{X}=\mu$，否则一定会有
$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2<\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2\text{\hspace{1em}(3–2)}$$
上式的右边是对方差的正确估计，左边是有偏估计。
产生这一偏差的本质是因为均值用的是样本均值$\bar{X}$。这将导致采样出来的样本之间不是完全相互独立的，自由度从$n$降为了$n-1$。（注意，一个好的采样有两点要求：随机采样，并且样本之间是相互独立的）这是因为，给定$\bar{X}$和任意$n-1$个样本，就能确定剩下的一个样本，也即只有$n-1$个样本是完全相互独立的，自由度为$n-1$。

4. 样本方差公式分母为n-1的推导

在正式推导之前，先给几个公式作为铺垫：

1. 方差计算公式：
   $$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2\text{\hspace{1em}(4–1)}$$
2. 均值的均值：
   $$\begin{array}{rl}E(\bar{X})& =E\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right)\\ & =\frac{1}{n}E(\sum _{i=1}^n{X}_i)\\ & =E(X_i)\\ & =\bar{X}\end{array}\text{\hspace{1em}(4–4)}$$
3. 均值的方差
   $$\begin{array}{rl}D(\bar{X})& =D\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right)\\ & =\frac{1}{n^2}D(\sum _{i=1}^n{X}_i)\\ & =\frac{1}{n}D(X_i)\end{array}\text{\hspace{1em}(4–5)}$$

对于没有修正的方差计算公式，计算其期望：
$$\begin{array}{rl}E(S^2)& =E\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2\right)\\ & =E\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i{)}^2-\frac{2}{n}(X_i)(\bar{X})+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(\bar{X}{)}^2\right)\\ & =E\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i{)}^2-2(\bar{X}{)}^2+(\bar{X}{)}^2\right)\\ & =E\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i{)}^2-(\bar{X}{)}^2\right)\\ & =E((X_i{)}^2)-E((\bar{X}{)}^2)\\ & =D(X_i)+{\left(E(X_i)\right)}^2-\left(D(\bar{X})+{\left(E(\bar{X})\right)}^2\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(4–6)}$$
结合{4-4}和{4-5}，可将{4-6}化简为
$$\begin{array}{rl}E(S^2)& =D(X_i)-\frac{1}{n}D(X_i)\\ & =\frac{n-1}{n}D(X_i)\\ & =\frac{n-1}{n}{\sigma }^2\end{array}\text{\hspace{1em}(4–7)}$$
要使样本方差的期望等于总体方差，就需要进行修正，也即给样本方差乘上$\frac{n}{n-1}$
因此得到修正后的样本方差公式:
$$\begin{array}{rl}{S}^2& =\frac{n}{n-1}\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2\right)\\ & =\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2\end{array}\text{\hspace{1em}(4–8)}$$
推导完毕！

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