第四单元 用python学习微积分(二十六)积分-部分分式-掩盖法及它的组合应用「建议收藏」

第四单元 用python学习微积分(二十六)积分-部分分式-掩盖法及它的组合应用「建议收藏」本文内容来自于学习麻省理工学院公开课:单变量微积分-部分分式-网易公开课部分分式方法(PartialFractions)=有理函数(rationalfunction)=两个多项式的比(ratiooftwopolyno

本文内容来自于学习麻省理工学院公开课:单变量微积分-部分分式-网易公开课

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部分分式方法(Partial Fractions)

\frac{P(x)}{Q(x)} = 有理函数(rational function) =两个多项式的比( ratio of two polynormials)

部分分式方法就是把 \frac{P}{Q}拆分成一些可以积分的简单分式

目录

一、掩盖法(Cover Up)

1、方法

(1) 首先拆分分母 ​为 ​, 考虑把分式变为​

(2) 两边同时乘以(x-1)(x+2)

2、适用于下面的情况

3、例子

二、组合的方法1-分子中的分式变量的次数为1(掩盖法加代数方法)

1、方法

(1  )拆分

(2)  求解 ​

三、组合的方法2-分子中的分式变量的次数不为1

1、方法

(1)  拆分

(3)  问题

四、当分式中分子的次数大于分母的次数(degP>degQ)

1、方法

(1)  分母合并因式

(2)  求商和余(按下图操作)

(3)  拆分


一、掩盖法(Cover Up)

1、方法

\int (\frac{1}{x-1} +\frac{3}{x+2})dx =\int\frac{1}{x-1}dx + \frac{3}{x+2}dx = ln|x-1| + 3ln|x+2| + c

\frac{1}{x-1} +\frac{3}{x+2} = \frac{x+2+3x -3}{x^2-x+2x-2} =\frac{4x-1}{x^2+x-2}

当求解 \int \frac{4x-1}{x^2+x-2} dx时,显然要把式子拆分

(1) 首先拆分分母 x^2+x-2(x-1)(x+2), 考虑把分式变为\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}

\frac{4x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}

(2) 两边同时乘以(x-1)(x+2)

4x-1 = A(x+2) + B(x-1)

求A:

令x=1

4-1 = A(1+2) 可以直接看作是A = \frac{4x-1}{x+2} =1 , x=1

相当于遮住了左侧等式中分母中的 (x-1) 和 右侧等式中的B部分,所以称为掩盖法

A = 1

求B:

令x=-2

-8-1 = B(-2-1) 可以直接看作是B = \frac{4x-1}{x-1} =3, x=-2

B = 3

\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} = \frac{1}{x-1} + \frac{3}{x+2}

2、适用于下面的情况

Q(x)有不同的线性因子同时分子的次数比分母的次数低(degP<degQ)

3、例子

\frac{x^2+3x+8}{(x-1)(x-2)(x+5)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2} +\frac{C}{x+5}

x^2 + 3x + 8 = A(x-2)(x+5) + B(x-1)(x+5) + C(x-1)(x-2)

A = \frac{x^2+3x+8}{(x-2)(x+5)} = \frac{12}{-6} = -2, x=1

B = \frac{x^2+3x+8}{(x-1)(x+5)} = \frac{18}{7}, x=2

C =\frac{x^2+3x+8}{(x-1)(x-2)} = \frac{18}{42} = \frac{3}{7}, x= -5

\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2} +\frac{C}{x+5} =\frac{-2}{x-1}+\frac{18}{7(x-2)} +\frac{3}{7(x+5)}

我计算不好,这边验算下

import numpy as np 
from sympy import *

x= symbols('x')
expr1 = (x**2+3*x+8)/((x-1)*(x-2)*(x+5))
expr2 = (-2/(x-1)) + 18/(7*(x-2))+3/(7*(x+5))
print ('x=5')
print ('expr1=',expr1.subs(x,3))
print ('expr2=',expr2.subs(x,3))

x=5 expr1= 13/8 expr2= 13/8

二、组合的方法1-分子中的分式变量的次数为1(掩盖法加代数方法)

\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x+2)}

这个式子不适用于掩盖法,因为分子中有相同的分式(x-1)(x-1)

1、方法

(1  )拆分

\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+2}

这里为啥要拆分成这种形式?

老师的解释是类似 \frac{7}{16} = \frac{0}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} +\frac{1}{2^4},这个我不是很理解

这里B和C是可以使用掩盖法的,因为等式两边同时乘以 (x-1)^2(x+2)

x^2+2 = A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)^2

可以看到无论x=1或x=2, A都会被消掉,所以A只能使用代数的方法求解

当B和C都已经有值的情况下,随便设个x的值,A都可以求出,所以先计算B和C

(2)  求解 B= \frac{x^2+2}{x+2} = \frac{3}{3}=1 ,x=1

C = \frac{x^2+2}{(x-1)^2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}, x=-2

\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+2} = \frac{A}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{3(x+2)}

令x=0(注意,这里的x不能使用掩盖法已经使用过的值)

\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{3(x+2)}

\frac{+2}{(0-1)^2(0+2)} = \frac{A}{0-1} + \frac{1}{(0-1)^2} + \frac{2}{3(0+2)}

1 = -A + 1 + \frac{1}{3}

A = \frac{1}{3}

\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{1}{3(x-1)} + \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{3(x+2)}

三、组合的方法2-分子中的分式变量的次数不为1

1、方法

(1)  拆分

\frac{x^2}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}

用掩盖法求解A

A = \frac{x^2}{(x^2+1)} = \frac{1}{2} ,x=1

求解B和c无法用掩盖法,老师说除非使用复数计算这里才能使用掩盖法

(2)求解B,C

等式两边乘以分母

\frac{x^2}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}

x^2= A (x^2+1)+ (Bx+C)(x-1)

这里考虑x的齐次的系数在等式左右两侧要一致

所以首先考虑 x^2的系数,按照原等式列新的等式

1 = A + B, A = \frac{1}{2}

B = \frac{1}{2}

考虑常数,也就是 x^0的系数

0 = A - C, A = \frac{1}{2}

C = \frac{1}{2}

\frac{x^2}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{1}{2(x-1)} + \frac{x+1}{2(x^2+1)}

(3)  问题

这里提到如果在分母中有 x^3+1这种怎么办,老师说这种情况是没有完全因式分解(fully factored)

sympy的函数factor可以做因式分解,但是这个情况并不完全

x= symbols('x')
expr1 =x**3+1
print ('expr1=', expr1.factor())

expr1= (x + 1)*(x**2 – x + 1)

这里( x^2 - x + 1 )依旧可以继续处理

多项式形式: ax^2+bx+c

x^2 - x + 1+\frac{b}{2a} -\frac{b}{2a} = x^2 - x + 1+\frac{1}{4} -\frac{1}{4} = (x-\frac{1}{2})^2 +\frac{3}{4}

这里设 u = x -\frac{1}{2}则有(x^3+1) =(x + 1) (x^2 - x + 1) = (u+\frac{3}{2})(u^2+\frac{3}{4})

(4)积分

\int \frac{x^2}{(x-1)(x^2+1)} dx = \int \frac{dx}{2(x-1)} +\int \frac{xdx}{2(x^2+1)} +\int \frac{dx}{2(x^2+1)}

= \frac{1}{2}ln|x-1| +\frac{1}{4}ln|x^2+1|+\frac{1}{2}arctan(x) +c

四、当分式中分子的次数大于分母的次数(degP>degQ)

\frac{x^3}{(x-1)(x+2)}

1、方法

(1)  分母合并因式

(x-1)(x+2) = x^2+x-2

(2)  求商和余(按下图操作)

第四单元 用python学习微积分(二十六)积分-部分分式-掩盖法及它的组合应用「建议收藏」

商+余/原分母

x-1 +\frac{3x-2}{(x-1)(x+2)}

(3)  拆分

\frac{3x-2}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} +\frac{B}{x+2}

A = \frac{3x-2}{(x+2)} = \frac{1}{3} ,x=1

B = \frac{3x-2}{(x-1)} = \frac{8}{3} , x = -2

\frac{A}{x-1} +\frac{B}{x+2} = \frac{1}{3(x-1)} + \frac{8}{3(x+2)}

x-1 +\frac{3x-2}{(x-1)(x+2)} = x-1+ \frac{1}{3(x-1)} + \frac{8}{3(x+2)}

检查下:

x= symbols('x')
expr1 = x**3/((x-1)*(x+2))
expr2 = x-1+1/(3*(x-1))+8/(3*(x+2))

print ('expr1=', expr1.subs(x,5))
print ('expr2=', expr2.subs(x,5))

expr1= 125/28

expr2= 125/28

今天的文章第四单元 用python学习微积分(二十六)积分-部分分式-掩盖法及它的组合应用「建议收藏」分享到此就结束了,感谢您的阅读。

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