第四单元用python学习微积分（二十六）积分-部分分式-掩盖法及它的组合应用「建议收藏」

import numpy as np 
from sympy import *

x= symbols('x')
expr1 = (x**2+3*x+8)/((x-1)*(x-2)*(x+5))
expr2 = (-2/(x-1)) + 18/(7*(x-2))+3/(7*(x+5))
print ('x=5')
print ('expr1=',expr1.subs(x,3))
print ('expr2=',expr2.subs(x,3))

x=5 expr1= 13/8 expr2= 13/8

二、组合的方法1-分子中的分式变量的次数为1（掩盖法加代数方法）

$\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x+2)}$

这个式子不适用于掩盖法，因为分子中有相同的分式(x-1)(x-1)

1、方法

(1 )拆分

$\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+2}$

这里为啥要拆分成这种形式？

老师的解释是类似 $\frac{7}{16} = \frac{0}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} +\frac{1}{2^4}$ ,这个我不是很理解

这里B和C是可以使用掩盖法的，因为等式两边同时乘以

可以看到无论x=1或x=2， A都会被消掉，所以A只能使用代数的方法求解

当B和C都已经有值的情况下，随便设个x的值，A都可以求出，所以先计算B和C

(2) 求解 $B= \frac{x^2+2}{x+2} = \frac{3}{3}=1 ,x=1$

$C = \frac{x^2+2}{(x-1)^2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}, x=-2$

$\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+2} = \frac{A}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{3(x+2)}$

令x=0(注意，这里的x不能使用掩盖法已经使用过的值)

$\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{3(x+2)}$

$\frac{+2}{(0-1)^2(0+2)} = \frac{A}{0-1} + \frac{1}{(0-1)^2} + \frac{2}{3(0+2)}$

$1 = -A + 1 + \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{1}{3(x-1)} + \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{3(x+2)}$

三、组合的方法2-分子中的分式变量的次数不为1

1、方法

(1) 拆分

$\frac{x^2}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

用掩盖法求解A

$A = \frac{x^2}{(x^2+1)} = \frac{1}{2} ,x=1$

求解B和c无法用掩盖法，老师说除非使用复数计算这里才能使用掩盖法

(2)求解B，C

等式两边乘以分母

$\frac{x^2}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

这里考虑x的齐次的系数在等式左右两侧要一致

所以首先考虑 x^2 的系数，按照原等式列新的等式

$1 = A + B, A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

考虑常数，也就是 x^0 的系数

$0 = A - C, A = \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$\frac{x^2}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{1}{2(x-1)} + \frac{x+1}{2(x^2+1)}$

(3) 问题

这里提到如果在分母中有 x^3+1 这种怎么办，老师说这种情况是没有完全因式分解(fully factored)

sympy的函数factor可以做因式分解，但是这个情况并不完全

x= symbols('x')
expr1 =x**3+1
print ('expr1=', expr1.factor())

expr1= (x + 1)*(x**2 – x + 1)

这里( )依旧可以继续处理

多项式形式:

$x^2 - x + 1+\frac{b}{2a} -\frac{b}{2a} = x^2 - x + 1+\frac{1}{4} -\frac{1}{4} = (x-\frac{1}{2})^2 +\frac{3}{4}$

这里设 $u = x -\frac{1}{2}$ 则有 $(x^3+1) =(x + 1) (x^2 - x + 1) = (u+\frac{3}{2})(u^2+\frac{3}{4})$

(4)积分

$\int \frac{x^2}{(x-1)(x^2+1)} dx = \int \frac{dx}{2(x-1)} +\int \frac{xdx}{2(x^2+1)} +\int \frac{dx}{2(x^2+1)}$

$= \frac{1}{2}ln|x-1| +\frac{1}{4}ln|x^2+1|+\frac{1}{2}arctan(x) +c$

四、当分式中分子的次数大于分母的次数（degP>degQ）

$\frac{x^3}{(x-1)(x+2)}$

1、方法

(1) 分母合并因式

(2) 求商和余（按下图操作）

商+余/原分母

$x-1 +\frac{3x-2}{(x-1)(x+2)}$

(3) 拆分

$\frac{3x-2}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} +\frac{B}{x+2}$

$A = \frac{3x-2}{(x+2)} = \frac{1}{3} ,x=1$

$B = \frac{3x-2}{(x-1)} = \frac{8}{3} , x = -2$

$\frac{A}{x-1} +\frac{B}{x+2} = \frac{1}{3(x-1)} + \frac{8}{3(x+2)}$

$x-1 +\frac{3x-2}{(x-1)(x+2)} = x-1+ \frac{1}{3(x-1)} + \frac{8}{3(x+2)}$

检查下：

x= symbols('x')
expr1 = x**3/((x-1)*(x+2))
expr2 = x-1+1/(3*(x-1))+8/(3*(x+2))

print ('expr1=', expr1.subs(x,5))
print ('expr2=', expr2.subs(x,5))

expr1= 125/28

expr2= 125/28

今天的文章第四单元用python学习微积分（二十六）积分-部分分式-掩盖法及它的组合应用「建议收藏」分享到此就结束了，感谢您的阅读。

版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容，请发送邮件至举报，一经查实，本站将立刻删除。
如需转载请保留出处：https://bianchenghao.cn/86591.html

第四单元 用python学习微积分（二十六）积分-部分分式-掩盖法及它的组合应用「建议收藏」

一、掩盖法(Cover Up)

1、方法

(2) 两边同时乘以(x-1)(x+2)

2、适用于下面的情况

3、例子

二、组合的方法1-分子中的分式变量的次数为1（掩盖法加代数方法）

1、方法

(1 )拆分

三、组合的方法2-分子中的分式变量的次数不为1

1、方法

(1) 拆分

(3) 问题

四、当分式中分子的次数大于分母的次数（degP>degQ）

1、方法

(1) 分母合并因式

(2) 求商和余（按下图操作）

(3) 拆分

相关推荐

发表回复

第四单元用python学习微积分（二十六）积分-部分分式-掩盖法及它的组合应用「建议收藏」