麦克斯韦波尔茨曼分布_麦克斯韦分布与正态分布

1.宏观态和微观态

对于一个近独立的系统，即系统能量是每个分子的能量和的系统：

$$E=\sum _j{\epsilon }_i$$

我们认为，如果确定了每个分子的广义坐标，也就确定了每个分子的能量，进而整个系统的能量也就确定了。而单一粒子在其子相空间（μ空间）中的位置就包含了能量特征，所以研究子相空间是很有必要的。

1.1 $\mu$空间分割和宏观态

• 把$\mu$空间分成许多小体元$\Delta {\mu }_j(j=1,2,\dots ,l)$,$\Delta {\mu }_j$不能过大也不能太小。在$\Delta {\mu }_j$中，可近似认为落入其中的代表点具有相同的广义坐标。
• 只要知道每个$\Delta {\mu }_j$体元中代表点的数目$a_j(j=1,2,\dots ,l)$，就可以确定整个系统的体积、内能等宏观物理量
• 描述宏观态可以用一组数$a_1,a_2,\dots ,a_l$来描述，或者用{
  $a_j$}来表示。

1.2宏观态的组态与配容

• 首先，一个宏观态对应不同的微观态。（对于量子描述，其粒子不可分辨，而对于经典描述，其粒子可以分辨）。
• 在刚才的分析中，$\Delta {\mu }_j$里的代表点个数即使确定，对于经典粒子还有一个问题：粒子占据$a_j$个代表点有多少种可能的方式。我们称粒子代表点在子相宇各体元中的分配方式为一种组态或配容。
• 一个分布{
  $a_j$}对应很多不同的组态，与宏观态对应很多微观态意思一样。

1.3宏观态对应的组态数

• 对于一个确定的分布{
  $a_j$}，假设体系有N个粒子，其对应多少个不同的组态呢？由基本的排列组合知识，不同组态的个数为：
  $$W=\frac{N!}{{\prod }_j{a}_j}$$
• 一种理解是如果不考虑$a_j$带来的组态数的同一性，直接N个盒子放N个小球，就是N!种，再除以每个$a_j$的同一性带来的重复。或者理解成先从N个粒子中挑$a_1$个作为$\Delta {\mu }_1$内的代表点，再从N-$a_1$个粒子中挑$a_2$个作为$\Delta {\mu }_2$内的代表点，以此类推，其排列数为$A_N^{a_1}{A}_{N-a_1}^{a_2}{A}_{N-a_1-a_2}^{a_3}\dots$算出解与上面一致。

2.等概率原理与最概然统计（统计物理最基本的假设）

如果对于系统没有过多的认识，就假定一切符合所有约束条件的微观态出现的概率相等，这就是等概率原理。基于对称的思想，她是直观的，其正确性需要由实验来验证。

2.1 等概率原理解释相空间粒子分布

• 具体在$\mu$空间中，等概率原理认为任意代表点进入子相空间中$\Delta {\mu }_j$的概率和$\Delta {\mu }_j$的体积成正比
• 因此，对于体元$\Delta {\mu }_j$，其中有1个粒子的概率正比于$\Delta {\mu }_j$，有$a_j$个粒子的概率正比于$(\Delta {\mu }_j{)}^{a_j}$
• 所以对于一个确定的分布{
  $a_j$}，其组态出现的概率即为如下：
  $$\Delta \mathrm{T}=\prod _j(\frac{\Delta {\mu }_j}{\mu }{)}^{a_j}$$
  其中$\mu$是全子相空间的体积
  这是个只和分布有关的概率，当分布确定后每一个组态对应的概率相等

然额我们的目的是要揭示系统分布与组态的关联，只有这些还不够。

2.2 最概然统计揭示需要的分布

• 我们认为出现概率最大的那个宏观态为系统的平衡态，也就是对应微观态数最多的宏观态为系统的平衡态。这个假设在分子数目足够多的时候是可信的。
• 由最概然统计法，我们意识到平衡态和系统分布所对应的组态个数的多少又很大关系，换言之，哪种分布出现的概率最大我们就把那种分布当作平衡态！
• 我们已经得到了系统处于特定分布{
  $a_j$}时可能的组态数$W$，同时我们也得到了系统处于该分布时每个组态出现的概率$\Delta \mathrm{T}$，所以这个宏观分布{
  $a_j$}出现的概率
  $$\Omega =W\Delta \mathrm{T}=\frac{N!}{{\mu }^N}\prod _j\frac{\Delta {\mu }_j^{a_j}}{a_j!}$$
  $\Omega$取极大值时对应平衡态。

3.计算$\Omega$的极值条件

~~~因笔者数学功力不够，此部分只写关键过程和结论。~~

• 对$\Omega$先取对数，再作其变分， 得到极值条件：
  $$\delta ln\Omega =\delta [\sum _j{a}_{j}ln\Delta {\mu }_j-\sum _{j}ln(a_j!)]=0\text{\hspace{1em}(1)}$$
• 借助大数的Stirling公式对（1）化简
  $$lnM!=MlnM-M\text{\hspace{1em}(2)}$$
  得到极值条件：
  $$\sum _{j}ln\frac{a_j}{\Delta {\mu }_j}\delta a_j=0\text{\hspace{1em}(3)}$$
• 我们想要求出$a_j$，但仅由（3）式不够。这时想到系统的前提条件：
  $$\sum a_j=N\text{\hspace{1em}(4)}$$
  $$\sum {\epsilon }_j{a}_j=E\text{\hspace{1em}(5)}$$
  作变分得到
  $$\sum \delta a_j=0\text{\hspace{1em}(6)}$$
  $$\sum {\epsilon }_j\delta a_j=0\text{\hspace{1em}(7)}$$
  (3),(6),(7)可以联立用Lagrange不定乘子法，将限制条件式乘$\alpha$、$\beta$和待求式相加
  $$\sum _{j=1}^{l}ln(\frac{a_j}{\Delta {\mu }_j}+\alpha +\beta {\epsilon }_j)\delta a_j=0\text{\hspace{1em}(8)}$$
  结果：
  $$a_j=\Delta {\mu }_j{e}^{-\alpha -\beta {\epsilon }_i}\text{\hspace{1em}(9)}$$

4.MB分布律

• 将（9）与（4）联立，有
  $$N=e^{-\alpha }\sum _j\Delta {\mu }_j{e}^{-\beta {\epsilon }_i}\text{\hspace{1em}(10)}$$
  故
  $$a_j=\Delta {\mu }_j{e}^{-\alpha -\beta {\epsilon }_i}=\frac{N\Delta {\mu }_j{e}^{-\beta {\epsilon }_i}}{{\sum }_j\Delta {\mu }_j{e}^{-\beta {\epsilon }_j}}\text{\hspace{1em}(11)}$$
  定义配分函数
  $$Z=\sum _j\Delta {\mu }_j{e}^{-\beta {\epsilon }_j}\text{\hspace{1em}(12)}$$
  于是$a_j$有
  $$a_j=\frac{N}{Z}\Delta {\mu }_j{e}^{-\beta {\epsilon }_i}\text{\hspace{1em}(13)}$$

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