一、可逆矩阵
1. 定义
给定一个n阶方阵A,若存在一n阶方阵B使得AB=BA=E(或AB=E、BA=E任满足一个),E是单位矩阵,则称A可逆,B是A的逆矩阵。
2. 充要条件
(⇔表示等价于,在这里把类似角度的条件放一起了)
(1)定义。AB=E;
(2)r(A)=n(满秩矩阵) ⇔ |A|≠0 ⇔ λ 全不为0;
(3)PAQ=E(A等价于n阶单位矩阵) ⇔ A=P1P2…Pn(可表示成初等矩阵的乘积);
(4)AX=0 仅有零解 ⇔ AX=b 有唯一解;
(5)A的行(列)向量组线性无关 ⇔ 任一n维向量可由A的行(列)向量组线性表示。
注:实对称矩阵未必可逆!如对角矩阵diag(1,1,0)。
《方阵A可逆的充要条件是》:https://zhidao.baidu.com/question/513426402.html
二、初等矩阵
1. 定义
指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。
2. 可逆矩阵与初等矩阵
(1)初等矩阵都是可逆矩阵。
(2)判断 A 是否是可逆矩阵,有一个充要条件是,A可表示成初等矩阵的乘积。(见1.中链接)现对此做出说明。
充分性:初等矩阵都是可逆矩阵,是满秩的。而初等矩阵的乘积相当于,对一个最开始的初等矩阵B做了一系列初等行/列变换,而初等变换不改变矩阵的秩,所以该乘积所得矩阵是满秩的,即A可逆。
必要性:考虑初等行变换法求某矩阵 C 的可逆矩阵,则需要写成 (C | E),然后将左侧变为E,此时右侧的C-1是E经过了多步初等行变换而得,也即是多个初等矩阵的乘积,那么也就是逆矩阵可以表示为多个初等矩阵的乘积。不妨将C-1看作可逆矩阵D,所以可逆矩阵一定可以表示为初等矩阵的乘积。
《可逆矩阵A总可以表示若干初等矩阵的乘积,怎么证明》:https://zhidao.baidu.com/question/985682018865592779.html
三、分块矩阵
针对分块矩阵能否相似对角化问题,有如下结论。(证明及例题见链接)
分块矩阵相似对角化的充要条件是,子块可对角化。所以转为分别求子块的特征值和特征向量,最终将特征向量拼成分块矩阵。
《分块矩阵的对角化分析》:http://mtoutiao.xdf.cn/kaoyan/201611/10564800.html
四、正交矩阵
1. 定义
满足 的矩阵。
2. 充要条件
(1)定义。 ⇔ ;
(2)P由规范正交基组成;
(3) 都是正交矩阵。
3. 性质
(1)|P|=1 或 -1(由定义得);
(2),(由规范正交基得);
(3)λ=1 或 -1,但具体几重需要另求。
证明思路[1]. 由,得,即1/λ=λ;
[2]. 逐步化简。
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