数分下(第2讲):二阶线性微分方程的解法

数分下(第2讲):二阶线性微分方程的解法第1.2讲二阶线性微分方程的求解方法二阶线性微分方程形如y’’+P(x)y’+Q(x)y=f(x),是二阶微分方程y’’=F(x,y,y’)的特殊形式

第2讲 二阶线性微分方程的求解方法

二阶线性微分方程形如 y’’ + P(x) y’ +Q(x) y = f(x),是二阶微分方程 y’’ =F(x,y,y’)的特殊形式。当f(x) = 0时,称为齐次的,否则称为非齐次的。二阶线性微分方程的力学背景是加速度,利用牛顿第二定律可以列出二阶线性微分方程。例见同济高数P329。知识点脑图如下:
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学习要点

1、和一阶微分方程对应,掌握齐次方程和非齐次方程的解的结构关系
2、牢记二级结论,对定理推导的结果如特征根法求解公式。否则做题时重新推导速度太慢
3、学习和练习的要点就是典型模型识别和套公式的转化化归。因为很多解是采用构造法得出的,能套上合适的模型就是一种能力。不要看不起套公式的方法。

一、解结构

1、二阶齐次方程的通解C1y1(x)+C2y2(x)

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当y1(x)和y2(x)是线性无关的,y= C1 y1(x) + C2 y2(x) 就是齐次微分方程的通解。注意,两个函数只要不是倍数关系,就是线性无关的。
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2、二阶非齐次方程的通解 Y + y*

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证明比较简单,可见同济高数P333。
可以看出,二阶线性微分方程的求解问题转化为两个问题:一是齐次方程的通解求法;二是非齐次方程的特解求法。其中,对常系数微分方程有通解公式,对一般的非齐次方程有常数变易求解方法,具体方法见同济高数P336,具体看是否有教学考核要求。

二、常系数齐次线性微分方程通解的特征根解法

一般的变系数齐次微分方程的通解是难以求出的,但对于常系数齐次微分方程 y’’ + py’ +qy =0 ,可以采用特征根方法,给出通解形式。实际计算中可以绕过推导过程,直接套用公式。
根据第一部分齐次方程的通解结构,只要找到两个线性无关的解y1(x)和y2(x),就可以根据 C1y1(x)+C2y2(x)写出通解。因此关键是构造出两个这样的解。采用了erx进行构造。这种构造方法称为特征根方法 。

1、特征根求解公式

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在实际求解时可以套用公式,下面简要给出推导过程。

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2、几个求解例子

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3、变形问题:从特解反求微分方程

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注意特解的构造性,利用了齐次方程特解线性组合也是特解的性质,目的是为了构造出erx的特解。

三、常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法

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非齐次方程的解结构为 齐次方程通解加上非齐次的一个特解,而利用特征根法已经解决了通解求解问题,下面将针对几种特殊的f(x)给出特解求解方法,其本质是构造法给出特解,其特点是不用积分就能求出,称为待定系数法。

1、f(x) = eaxPm(x)型

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2、f(x) = eax[Pl(x) coswx + Qn(x) sinwx]型

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待定系数法的本质就是构造出了特解,只要确定系数就可以,所以牢记二级结论的公式定理很重要。举几个例子加强理解。
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如果对复数形式比较熟悉,可以更加简洁一点的过程。在这里插入图片描述
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今天的文章数分下(第2讲):二阶线性微分方程的解法分享到此就结束了,感谢您的阅读。

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