数分下（第2讲）：二阶线性微分方程的解法

第2讲 二阶线性微分方程的求解方法

二阶线性微分方程形如 y’’ + P(x) y’ +Q(x) y = f(x)，是二阶微分方程 y’’ =F(x,y,y’)的特殊形式。当f(x) = 0时，称为齐次的，否则称为非齐次的。二阶线性微分方程的力学背景是加速度，利用牛顿第二定律可以列出二阶线性微分方程。例见同济高数P329。知识点脑图如下：

学习要点

1、和一阶微分方程对应，掌握齐次方程和非齐次方程的解的结构关系
2、牢记二级结论，对定理推导的结果如特征根法求解公式。否则做题时重新推导速度太慢
3、学习和练习的要点就是典型模型识别和套公式的转化化归。因为很多解是采用构造法得出的，能套上合适的模型就是一种能力。不要看不起套公式的方法。

一、解结构

1、二阶齐次方程的通解C1y1(x)+C2y2(x)

当y1(x)和y2(x)是线性无关的，y= C1 y1(x) + C2 y2(x) 就是齐次微分方程的通解。注意，两个函数只要不是倍数关系，就是线性无关的。

2、二阶非齐次方程的通解 Y + y^*

证明比较简单，可见同济高数P333。
可以看出，二阶线性微分方程的求解问题转化为两个问题：一是齐次方程的通解求法；二是非齐次方程的特解求法。其中，对常系数微分方程有通解公式，对一般的非齐次方程有常数变易求解方法，具体方法见同济高数P336，具体看是否有教学考核要求。

二、常系数齐次线性微分方程通解的特征根解法

一般的变系数齐次微分方程的通解是难以求出的，但对于常系数齐次微分方程 y’’ + py’ +qy =0 ,可以采用特征根方法，给出通解形式。实际计算中可以绕过推导过程，直接套用公式。
根据第一部分齐次方程的通解结构，只要找到两个线性无关的解y1(x)和y2(x),就可以根据 C1y1(x)+C2y2(x)写出通解。因此关键是构造出两个这样的解。采用了e^rx进行构造。这种构造方法称为特征根方法 。

1、特征根求解公式

在实际求解时可以套用公式，下面简要给出推导过程。

2、几个求解例子

3、变形问题：从特解反求微分方程

注意特解的构造性，利用了齐次方程特解线性组合也是特解的性质，目的是为了构造出e^rx的特解。

三、常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法

非齐次方程的解结构为 齐次方程通解加上非齐次的一个特解，而利用特征根法已经解决了通解求解问题，下面将针对几种特殊的f(x)给出特解求解方法，其本质是构造法给出特解，其特点是不用积分就能求出，称为待定系数法。

1、f(x) = e^axPm(x)型

2、f(x) = e^ax[Pl(x) coswx + Qn(x) sinwx]型

待定系数法的本质就是构造出了特解，只要确定系数就可以，所以牢记二级结论的公式定理很重要。举几个例子加强理解。

如果对复数形式比较熟悉，可以更加简洁一点的过程。

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