什么是滚子链传动的多边形效应?对滚子链传动有何影响_圆沿着正方形内侧滚动问题「建议收藏」

什么是滚子链传动的多边形效应?对滚子链传动有何影响_圆沿着正方形内侧滚动问题「建议收藏」正多变形的滚动与旋轮线下方的面积问题描述:一个圆盘在地面上滚动一周,那么圆周上一点所形成的轨迹就叫做旋轮线(或者摆线).旋轮线下方的面积是多少?推广至正多边形,旋轮线下方的面积又是多少?问题分析:1.在问题是圆的情况




            
             正多变形的滚动与旋轮线下方的面积





问题描述:
     
一个圆盘在地面上滚动一周,那么圆周上一点所形成的轨迹就叫做旋轮线(或者摆线).

 
 
 
 
 旋轮线下方的面积是多少? 推广至正多边形, 旋轮线下方的面积又是多少?

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
计算几何:正多边形的滚动与旋轮线下方的面积

 问题分析:

 
 
 
 1.在问题是圆的情况下, 显然我们可以用参数方程的方法求得坐标: (x-r*sin(x/r), r-r*cos(x/r));

 
 
 
 定积分方法:
计算几何:正多边形的滚动与旋轮线下方的面积

 
 
 
 结果: 3πr^2

 
 
 
 (我自己的想法是外接圆,当n无限大时, 正多边形蜕变成圆的问题.)

 
 
 
 以下是Matrix证明方法:

 
 
 
 2. 
假设正多边形的外接圆半径为 r ,从外接圆上任意一点出发,依次与该多边形的 n 个顶点相连,则这 n 条连线的长度的平方和等于        2n · r2 。我们来证明这个结论。
    
 
计算几何:正多边形的滚动与旋轮线下方的面积

   把正多边形的中心放在平面直角坐标系的原点处,把外接圆上的那个点记作 (u, v) ,

   再假设多边形 n 个顶点的位置分别是 (a1, b1), (a2, b2), …, (an, bn) ,则这 n 条连线的平方和为

   Σ((u – ai)2 + (v – bi)2)
     = Σ(u – ai)2 + Σ(v – bi)2
     = n · u2 – 2u · Σai + Σai2 + n · v2 – 2v · Σbi + Σbi2
     = n · (u2 + v2) – 2u · Σai – 2v · Σbi + Σ(ai2 + bi2)

   显然, u2 + v2 以及所有的 ai2 + bi2 都等于 r2 ,因此上面的式子也就等于了 2n · r2 – 2u · Σai – 2v · Σbi .

   接下来,我们只需要说明 Σai 和 Σbi 都为 0 即可。其实这是显然的:

   因为正多边形 n 个顶点的重心在中心 (0, 0) 处,说明这 n 个顶点的所有横坐标之和就是 0 ,

   所有纵坐标之和也为 0 。

   特别地,把外接圆上的那个点取成正多边形的顶点,于是我们得到,

   从正 n 边形的某个顶点出发,连接其他 n – 1 个顶点,如果把这 n – 1 条连线分别

   记作 d1, d2, …, dn-1 ,则有: d12 + d22 + … + dn-12 = 2n · r2

计算几何:正多边形的滚动与旋轮线下方的面积

 3.现在,假设正多边形的外接圆半径为 r ,把这个正多边形的面积记作 A 。如图,折线段下方的面积可以被分成 n – 2 个蓝色三角形和 n – 1 个红色三角形(图中所示的是 n = 9 的情况)。这 n – 2 个蓝色三角形恰好能拼成一个原多边形,它们的面积和为 A 。下面,我们来看一下剩下的 n – 1 个红色三角形都是怎么形成的。正多边形一共转动了 n – 1 次,每一次都是绕着一个新的顶点在转动,这 n – 1 个红色三角形就是在这 n – 1 次转动中产生的。容易看出,每个红色三角形都是等腰三角形,它们的腰长分别为 d1, d2, …, dn-1。同时,由于 n 次转动后正多边形将回到原来的方向,因此每一次正多边形都转过了 (360/n)° 。因此,每个红色等腰三角形的顶角也都是 (360/n)° 。于是你会发现,第 i 个红色三角形的形状与正多边形的其中 1/n 块完全一样,只不过有一个 di : r 的相似比!注意到面积比是相似比的平方,于是所有红色三角形的面积之和为:

    (A/n) · d12 / r2 + (A/n) · d22 / r2 + … + (A/n) · dn-12 / r2
      = (A/n) · (d12 + d22 + … + dn-12) / r2
      = (A/n) · 2n · r2 / r2
      = 2A

 
 
 
 
因此,折线下方的面积是 3A ,即原正多边形面积的三倍.



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