问题分析:
假设正多边形的外接圆半径为 r ,从外接圆上任意一点出发,依次与该多边形的 n 个顶点相连,则这 n 条连线的长度的平方和等于 2n · r2 。我们来证明这个结论。
3.现在,假设正多边形的外接圆半径为 r ,把这个正多边形的面积记作 A 。如图,折线段下方的面积可以被分成 n – 2 个蓝色三角形和 n – 1 个红色三角形(图中所示的是 n = 9 的情况)。这 n – 2 个蓝色三角形恰好能拼成一个原多边形,它们的面积和为 A 。下面,我们来看一下剩下的 n – 1 个红色三角形都是怎么形成的。正多边形一共转动了 n – 1 次,每一次都是绕着一个新的顶点在转动,这 n – 1 个红色三角形就是在这 n – 1 次转动中产生的。容易看出,每个红色三角形都是等腰三角形,它们的腰长分别为 d1, d2, …, dn-1。同时,由于 n 次转动后正多边形将回到原来的方向,因此每一次正多边形都转过了 (360/n)° 。因此,每个红色等腰三角形的顶角也都是 (360/n)° 。于是你会发现,第 i 个红色三角形的形状与正多边形的其中 1/n 块完全一样,只不过有一个 di : r 的相似比!注意到面积比是相似比的平方,于是所有红色三角形的面积之和为:
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