NAF(Non-adjacent form) w-NAF及其在curve25519-dalek中scalar的实现

1. 引言

The non-adjacent form (NAF) of a number is a unique signed-digit representation. Like the name suggests, non-zero values cannot be adjacent. For example:
$(0111{)}_2=4+2+1=7$
$(10-11{)}_2=8-2+1=7$
$(1-111{)}_2=8-4+2+1=7$
$(100-1{)}_2=8-1=7$

All are valid signed-digit representations of 7, but only the final representation,$(100-1{)}_2$, is in NAF.

NAF即以一组有符号数字表示，且非零值不可相邻（即每个非零值的左右相邻位必须均为0）。NAF表示的数字，可保证Hamming weight值最小，且相比于普通的二进制表示，其非零值比率可控制在1/3以内。

2. NAF的优势

因以NAF表示的数字相比于以二进制形式表示的数字，其非零值的个数有效减少了（由1/2减为1/3）。非零值个数的减少，将提高某些算法的效率。比如密码学中应用中，可减少exponentiation幂算法中的乘法运算数量（该数量取决于非零值的位数）。
exponentiation幂运算通常表示由基数$b$和指数$n组成$：
$b^n=b\times b...\times b$

NAF中的1即表示与基数$b$的一次乘积运算，-1表示与基数的倒数$\frac{1}{b}$的乘法运算。

3. 转NAF算法

将普通二进制数字表示转换为NAF表示的算法如下：

 Input     E = (em − 1 em − 2 ··· e1 e0)2
 Output     Z = (zm zm − 1 ··· z1 z0)NAF
   i ← 0
   while E > 0 do
       if E is odd then
           zi ← 2 − (E mod 4)
           E ← E − zi
       else
           zi ← 0
       E ← E/2
       i ← i + 1
   return z

特别的，对于以$w$进制表示的NAF，通称为width-w NAF。具体定义见 书《Guide to Elliptic Curve Cryptography》中Definition 3.32：

具体的算法实现为：

上面算法中2.1步骤中的$kmods{2}^w$，对应的结果区间在$[-2^{w-1},2^{w-1}-1]$。

举例为，下面例子中上面有横杠的数字表示的即为负数：

观察可发现：$w$值越大，NAF中非零值的个数越少。

3. curve25519-dalek中scalar的NAF

以NAF形式表示的位数最多比以二进制形式表示的位数多一位。因此，需保证scalar以二进制表示时，其最高位保持为0值，而相应的NAF表示时，最多只有256位。

针对算法：
上面算法中2.1步骤中的$kmods{2}^w$相当于求$u$，使得$u\equiv k(mod{2}^w)$，$u$对应的结果区间在$[-2^{w-1},2^{w-1})$。

在curve25519-dalek的实际代码实现中，具体的思路为已知$k=(k_m{k}_{m-1}...k_{w+1}{k}_w{k}_{w-1}...k_1{k}_0{)}_2$，求相应的$NA{F}_w(k)=(n_m....n_1{n}_0{)}_w$：
1）将k以二进制表示为$k=(k_m{k}_{m-1}...k_{w+1}{k}_w{k}_{w-1}...k_1{k}_0{)}_2={\sum }_{i=0}^{w-1}{k}_i{2}^i+2^w\ast {\sum }_{i=0}{k}_{i+w}{2}^i$，其中${\sum }_{i=0}^{w-1}{k}_i{2}^i\equiv kmod{2}^w$。
2）若$kmod{2}^w$为奇数，且$kmod{2}^w<2^{w-1}$时，$n_0=kmod{2}^w$，对于其中的$k=k-n_0$计算，其实即为$k=k>>w$。
3）若$kmod{2}^w$为奇数，且$kmod{2}^w\ge 2^{w-1}$时，$n_0=kmod{2}^w-2^w$，对于其中的$k=k-n_0$计算，其实即为$k=k-n_0={\sum }_{i=0}^{w-1}{k}_i{2}^i+2^w\ast {\sum }_{i=0}{k}_{i+2}{2}^i-(kmod{2}^w-2^w)\equiv kmod{2}^w+2^w\ast {\sum }_{i=0}{k}_{i+w}{2}^i-(kmod{2}^w-2^w)\equiv 2^w+2^w\ast {\sum }_{i=0}{k}_{i+w}{2}^i$，最终可有$k=k>>w,carry=1$。
4）若$kmod{2}^w$为偶数，则有$n_0=0$，$k=k>>1$。

具体代码实现为：

    pub(crate) fn non_adjacent_form(&self, w: usize) -> [i8; 256] {
        // required by the NAF definition
        debug_assert!( w >= 2 );
        // required so that the NAF digits fit in i8
        debug_assert!( w <= 8 );

        use byteorder::{ByteOrder, LittleEndian};

        let mut naf = [0i8; 256];

        let mut x_u64 = [0u64; 5];
        LittleEndian::read_u64_into(&self.bytes, &mut x_u64[0..4]);

        let width = 1 << w;
        let window_mask = width - 1;

        let mut pos = 0;
        let mut carry = 0;
        while pos < 256 {
            // Construct a buffer of bits of the scalar, starting at bit `pos`
            let u64_idx = pos / 64;
            let bit_idx = pos % 64;
            let bit_buf: u64;
            if bit_idx < 64 - w {
                // This window's bits are contained in a single u64
                bit_buf = x_u64[u64_idx] >> bit_idx;
            } else {
                // Combine the current u64's bits with the bits from the next u64
                bit_buf = (x_u64[u64_idx] >> bit_idx) | (x_u64[1+u64_idx] << (64 - bit_idx));
            }

            // Add the carry into the current window
            let window = carry + (bit_buf & window_mask);

            if window & 1 == 0 {
                // If the window value is even, preserve the carry and continue.
                // Why is the carry preserved?
                // If carry == 0 and window & 1 == 0, then the next carry should be 0
                // If carry == 1 and window & 1 == 0, then bit_buf & 1 == 1 so the next carry should be 1
                pos += 1;
                continue;
            }

            if window < width/2 {
                carry = 0;
                naf[pos] = window as i8;
            } else {
                carry = 1;
                naf[pos] = (window as i8).wrapping_sub(width as i8);
            }

            pos += w;
        }

        naf
    }

参考资料：
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Non-adjacent_form
[2] 《Guide to Elliptic Curve Cryptography》

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