证明根号2为无理数:
大家还记得第一次数学危机的根结吗?
古希腊人相信任何数都可以表示为两个数的比值,也就是说,根据欧几里得的辗转相除算法,只要不断截取线段,总有一次可以截到两条线段一样长。
但后来希帕索斯证明了有一种数是无法用两个数的比值表示的,那就是无理数。
法一:
他先用一个等腰直角三角形,用斜边和直角边的比值来表示根号二。
接着画了一条∠A的角平分线AD,过点D做DE⊥AC,这样AB的长度就可以用AE来替换。
根据欧几里得的辗转相除法,原本是AC:AB,现在AC-AE=CE,就变成了AB:CE。
又因为这是等腰三角形,所以AB=BC,就将AB:CE变成了BC:CE。
接着,我们再用一次辗转相除法,把BC-CE,易得CE=DE=BD,所以BC-CE就等于BC-BD=DC。
做到这里,我们可以发现,一开始的AB:AC最终变成了CE:CD,正好也是一个等腰直角三角形的直角边比斜边。
嗯?开始循环了,这样一直辗转相除下去,会一直是直角边比斜边。
希帕索斯于是立刻意识到,这个过程无穷无尽,永远无法变成一个比值,所以根号2无法用两个整数的比值表示。
法二:
第二种是我们用的较多的反证法。
假设是有理数,那它一定可以用两个整数的比值表示;
那么,其中q和p互质,;
两边平方后得:,所以q是偶数,设q=2k;
代入化简后得到:,由此得出,p也是偶数;
p和q均为偶数,与p、q互质矛盾;
所以假设不成立,为无理数。
计算根号2的值:
法一:
首先我们可以写出一个作为基准的公式:
根据这个公式,我们进行变式:
,
左边的根号2就是我们要求的量,我们再将右式不断细化,把根号2代入右式:
;
如果继续推导,可以得出:
;
这种方式叫做连分数法,这样不断细化,就可以得出更精确的根号2的值。
今天的文章如何求证根号二是无理数_有理数和无理数的区别分享到此就结束了,感谢您的阅读。
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