二项式系数
8/10/2016 5:55:10 PM by 林维
1. Pascal公式
对于满足1 ≤ k ≤ n – 1的所有整数 k 和 n,都有C(n, k) = C(n – 1, k – 1) + C(n – 1, k).
pascal三角形 :
n\k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | … |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | |||||||||
1 | 1 | 1 | ||||||||
2 | 1 | 2 | 1 | |||||||
3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||||||
4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |||||
5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | ||||
6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | |||
7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | ||
8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | |
… | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
该三角形中的每一项,但不是出现在左边和右边倾斜上等于1的项,通过把上一行的两项加在一起而得到:一项在其直接上方而另一项位于其左边。这和上面的pascal公式是对应的。由此还能得到
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对称关系: C(n ,k) = C(n, n – k);
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二项式系数恒等式: C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2n;
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在k = 1一列上C(n, 1) = n 是计数数,k = 2 一列上的数C(n, 2) = n(n – 1) / 2 是所谓的三角形数, 在k = 3一列上的数C(n, 3) = n(n – 1)(n – 2) / 3! 是所谓的四面体数。
可以对Pascal三角形做出另一种解释。令n是一个非负整数,并令k为满足0 ≤ k ≤ n的整数。定义p(n, k)为从左上顶点(项C(0, 0) = 1)到项C(n, k)的路径数,其中,在每一条路径,从一项移动到该项下一行在其直接下方的项或其直接右下方的项。于是Pascal三角形的项C(n, k)的值代表从左上角到这项的路径的条数。
2. 二项式定理
定理一: 令n是一个正整数。于是,对所有的x和y,
。用求和记号写出,即:
二项式定理还有几种等价形式:
定理二: 令n是一个正整数。则对所有的x,有
3. 一些恒等式
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kC(n, k) = nC(n-1, k – 1) (n, k均为正整数) ;
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C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + … + C(n, n – 1) + C(n, n) = 2n (n ≥ 0) ;
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C(n, 0) – C(n, 1) + C(n, 2) + … + (-1)nC(n, n) = 0 , 或者可以写成C(n, 0) + C(n, 2) + … + = C(n, 1) + C(n, 3) + … = 2n-1
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1C(n, 1) + 2C(n, 2) + 3C(n, 3) + … + nC(n, n) = n2n-1
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C2(n, 0) + C2(n, 1) + C2(n, 2) + … + C2(n, n – 1) + C2(n, n) = C(2n, n)
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C(r, 0) + C(r+1, 1) + C(r+2, 2) + … + C(r+k, k) = C(r+k+1, k) ;
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C(0, k) + C(1, k) + … + C(n-1, k) + C(n, k) = C(n+1, k+1);
4. 二项式系数的单峰性
令n是正整数,二项式序列C(n, 0), C(n, 1), C(n, 2), … , C(n, n)是单峰序列。更精确地说
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n为偶数时, C(n, 0) < C(n, 1) < C(n, 2) < … < C(n, n/2), C(n, n/2) > … > C(n, n -1) > C(n, n);
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n为奇数时, C(n, 0) < C(n, 1) < C(n, 2) < … < C(n, (n-1)/2) = C(n, n/2+1), C(n, (n+1)/2) > … > C(n, n -1) > C(n, n)
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