二项式系数与组合数的关系_二项式公式大全「建议收藏」

二项式系数与组合数的关系_二项式公式大全「建议收藏」二项式系数8/10/20165:55:10PMby林维1.Pascal公式对于满足1≤k≤n-1的所有整数k和n,都有C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k).pascal三角形:n\k012345678…01_pascal公式

二项式系数与组合数的关系_二项式公式大全「建议收藏」

二项式系数

8/10/2016 5:55:10 PM by 林维

1. Pascal公式

对于满足1 ≤ k ≤ n – 1的所有整数 kn,都有C(n, k) = C(n – 1, k – 1) + C(n – 1, k).

pascal三角形 :

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

该三角形中的每一项,但不是出现在左边和右边倾斜上等于1的项,通过把上一行的两项加在一起而得到:一项在其直接上方而另一项位于其左边。这和上面的pascal公式是对应的。由此还能得到

  1. 对称关系: C(n ,k) = C(n, n – k);

  2. 二项式系数恒等式: C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2n;

  3. 在k = 1一列上C(n, 1) = n 是计数数,k = 2 一列上的数C(n, 2) = n(n – 1) / 2 是所谓的三角形数, 在k = 3一列上的数C(n, 3) = n(n – 1)(n – 2) / 3! 是所谓的四面体数。

可以对Pascal三角形做出另一种解释。令n是一个非负整数,并令k为满足0 ≤ k ≤ n的整数。定义p(n, k)为从左上顶点(项C(0, 0) = 1)到项C(n, k)的路径数,其中,在每一条路径,从一项移动到该项下一行在其直接下方的项或其直接右下方的项。于是Pascal三角形的项C(n, k)的值代表从左上角到这项的路径的条数。

2. 二项式定理

定理一: 令n是一个正整数。于是,对所有的x和y,

(x+y)n=xn+C(n,1)xn1y+C(n,2)xn2y2+...+C(n,n1)xyn1+C(n,n)yn

。用求和记号写出,即:

(x+y)n=C(n,k)xnkyk



二项式定理还有几种等价形式:

(x+y)n=C(n,nk)xnkyk


(x+y)n=C(n,nk)xkynk


(s+y)n=C(n,k)xkynk




定理二: 令n是一个正整数。则对所有的x,有

(1+x)n=C(n,k)xk=C(n,nk)xk

3. 一些恒等式

  1. kC(n, k) = nC(n-1, k – 1) (n, k均为正整数) ;

  2. C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + … + C(n, n – 1) + C(n, n) = 2n (n ≥ 0) ;

  3. C(n, 0) – C(n, 1) + C(n, 2) + … + (-1)nC(n, n) = 0 , 或者可以写成C(n, 0) + C(n, 2) + … + = C(n, 1) + C(n, 3) + … = 2n-1

  4. 1C(n, 1) + 2C(n, 2) + 3C(n, 3) + … + nC(n, n) = n2n-1

  5. C2(n, 0) + C2(n, 1) + C2(n, 2) + … + C2(n, n – 1) + C2(n, n) = C(2n, n)

  6. C(r, 0) + C(r+1, 1) + C(r+2, 2) + … + C(r+k, k) = C(r+k+1, k) ;

  7. C(0, k) + C(1, k) + … + C(n-1, k) + C(n, k) = C(n+1, k+1);

4. 二项式系数的单峰性

令n是正整数,二项式序列C(n, 0), C(n, 1), C(n, 2), … , C(n, n)是单峰序列。更精确地说

  1. n为偶数时, C(n, 0) < C(n, 1) < C(n, 2) < … < C(n, n/2), C(n, n/2) > … > C(n, n -1) > C(n, n);

  2. n为奇数时, C(n, 0) < C(n, 1) < C(n, 2) < … < C(n, (n-1)/2) = C(n, n/2+1), C(n, (n+1)/2) > … > C(n, n -1) > C(n, n)

今天的文章二项式系数与组合数的关系_二项式公式大全「建议收藏」分享到此就结束了,感谢您的阅读。

版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 举报,一经查实,本站将立刻删除。
如需转载请保留出处:https://bianchenghao.cn/88539.html

(0)
编程小号编程小号

相关推荐

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用 * 标注