量子力学 一 基础5 厄尔米特算符与酉算符 算符的谱分解
厄尔米特算符与酉算符
厄尔米特算符
上一讲介绍了线性算符及其伴随算符（可以理解为共轭转置），称算符 A A A是Hermitian Operator（也叫self-adjoint operator）如果
A = A † A=A^{\dag} A=A†
这个定义可以类比对称矩阵。
评注
因为 ⟨ α ∣ A † ∣ β ⟩ = ⟨ β ∣ A ∣ α ⟩ ∗ \langle \alpha|A^{\dag}|\beta \rangle=\langle \beta|A|\alpha\rangle^* ⟨α∣A†∣β⟩=⟨β∣A∣α⟩∗
如果 A A A为厄尔米特，则
⟨ α ∣ A ∣ β ⟩ = ⟨ β ∣ A ∣ α ⟩ ∗ \langle \alpha|A|\beta \rangle=\langle \beta|A|\alpha\rangle^* ⟨α∣A∣β⟩=⟨β∣A∣α⟩∗
如果 α = β \alpha=\beta α=β，则
⟨ α ∣ A ∣ α ⟩ = ⟨ α ∣ A ∣ α ⟩ ∗ \langle \alpha|A|\alpha \rangle=\langle \alpha|A|\alpha\rangle^* ⟨α∣A∣α⟩=⟨α∣A∣α⟩∗
这说明 ⟨ α ∣ A ∣ α ⟩ ∈ R \langle \alpha|A|\alpha \rangle \in \mathbb{R} ⟨α∣A∣α⟩∈R；这是厄尔米特算符的一个重要性质，在实验物理中我们能测量到的只是实数，而 ⟨ α ∣ A ∣ α ⟩ ∈ R \langle \alpha|A|\alpha \rangle \in \mathbb{R} ⟨α∣A∣α⟩∈R可以保证我们能通过某些方式测量到算符 A A A的某种均值。
酉算符
称算符 U U U为酉算符(unitary operator)，如果
U † U = U U † = I U^{\dag}U=UU^{\dag}=I U†U=UU†=I
这个定义可以类比正交矩阵和酉矩阵。
评注
⟨ α ∣ U † U ∣ α ⟩ = ⟨ α ∣ I ∣ α ⟩ = ⟨ α ∣ α ⟩ = ( ∣ α ⟩ , ∣ α ⟩ ) \langle \alpha|U^{\dag}U|\alpha \rangle=\langle \alpha|I|\alpha \rangle=\langle \alpha|\alpha \rangle=(|\alpha \rangle,|\alpha \rangle) ⟨α∣U†U∣α⟩=⟨α∣I∣α⟩=⟨α∣α⟩=(∣α⟩,∣α⟩)
也就是酉算符与正交矩阵的作用类似，它不会改变矢量的长度。
本征值与本征向量
如果
A ∣ α ⟩ = a ∣ α ⟩ A|\alpha \rangle=a|\alpha \rangle A∣α⟩=a∣α⟩
就称 ∣ α ⟩ |\alpha \rangle ∣α⟩为 A A A的本征向量（eigenvector，就是特征向量）， a a a为 A A A的本征值（eigenvalue，就是特征值）；通常将本征向量标准化，并用本征值标记：
∣ a ⟩ = ∣ α ⟩ ⟨ α ∣ α ⟩ |a\rangle=\frac{|\alpha \rangle}{\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle}} ∣a⟩=⟨α∣α⟩∣α⟩
厄尔米特算符的本征值
考虑
A ∣ a ⟩ = a ∣ a ⟩ A|a\rangle = a|a\rangle A∣a⟩=a∣a⟩
代入厄尔米特算符的定义
⟨ a ∣ A † ∣ a ⟩ = ⟨ a ∣ A ∣ a ⟩ = a ⟨ a ∣ a ⟩ = a ⟨ a ∣ A † ∣ a ⟩ = ⟨ a ∣ A ∣ a ⟩ ∗ = ( a ⟨ a ∣ a ⟩ ) ∗ = a ∗ \langle a |A^{\dag}|a\rangle = \langle a |A|a\rangle =a \langle a |a \rangle=a\\ \langle a |A^{\dag}|a\rangle=\langle a |A|a \rangle^*=(a\langle a |a \rangle)^*=a^* ⟨a∣A†∣a⟩=⟨a∣A∣a⟩=a⟨a∣a⟩=a⟨a∣A†∣a⟩=⟨a∣A∣a⟩∗=(a⟨a∣a⟩)∗=a∗
这说明 a = a ∗ a=a^* a=a∗， a a a是实数，也就是说厄尔米特算符的本征值为实数。
假设 a , b a,b a,b是厄尔米特算符 A A A的两个不同本征值，考虑
⟨ b ∣ A ∣ a ⟩ = a ⟨ b ∣ a ⟩ ⟨ a ∣ A † ∣ b ⟩ = ⟨ b ∣ A ∣ a ⟩ ∗ = ( a ⟨ b ∣ a ⟩ ) ∗ = a ⟨ b ∣ a ⟩ ∗ ⟨ a ∣ A † ∣ b ⟩ = ⟨ a ∣ A ∣ b ⟩ = b ⟨ a ∣ b ⟩ = b ⟨ b ∣ a ⟩ ∗ \langle b |A|a \rangle=a\langle b | a \rangle \\\langle a |A^{\dag}|b \rangle=\langle b |A|a \rangle^*=(a\langle b | a \rangle)^*=a\langle b | a \rangle^* \\ \langle a |A^{\dag}|b \rangle=\langle a |A|b \rangle = b \langle a | b \rangle=b\langle b | a \rangle^* ⟨b∣A∣a⟩=a⟨b∣a⟩⟨a∣A†∣b⟩=⟨b∣A∣a⟩∗=(a⟨b∣
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