柯朗微积分与数学分析习题选解(1.1 节 a)「建议收藏」

一直在读《陶哲轩实分析》，陶的书非常的严谨，环环相扣，但是也有个缺点就是计算性的例子和应用方面的例子太少了。所以就又找了本柯朗的《微积分与数学分析》搭配着看。柯朗的书的习题与陶的风格完全不同，里面有大量的考察技巧性的习题，有些题相当有难度，第一卷又没有提供习题答案。我试着解了一小部分习题，放到这里，供有需要的同学参考。能力有限，有些题确实搞不定，有些题给的答案可能是错的。所以仅供参考。

柯朗微积分与数学分析习题选解(1.1 节 a)

第一题

1(a)
反证法：如果 a + x 是有理数，那么可以表示为两个整数之比 $p_{ax} / q_{ax}$。又因为 a 是 有理数，所以可以写为 $p_a / q_a$。那么：

$$x = \frac{p_{ax}}{q_{ax}} - \frac{p_a}{q_a} = \frac{p_{ax} q_a- p_a q_{ax}}{q_{ax} q_a}$$

所以 x 也是有理数，矛盾。

1(b)

设 $a$ 和 $b$ 是不相等的两个有理数。那么:

$$a < a + \frac{(b - a)}{\sqrt{2}} < b$$

是无理数。

第二题

试证明下列各数不是有理数。
2(a) $\sqrt{3}$
反证法：如果 $\sqrt{3}$ 是有理数，那么可以表示为 $\sqrt{3} = p/q$
那么：

$$3 = \frac{p^2}{q^2}\\\rightarrow p^2 = 3 q^2$$

所以

p2
$p^2$ 含有因子

3
$3$，也就是说



p

$p$含有因子

3
$3$，也就是说



p

$p$ 可以写为:

$$p = 3 n$$

那么

$$9 n^2 = 3 q^2\\3 n^2 = q^2$$

所以

q
$q$ 也含有因子



3

$3$，这与

p,q
$p, q$ 是最简分数矛盾。

2（b）$\sqrt{n}$
反证法：如果 $\sqrt{n}$ 是有理数，那么可以表示为 $\sqrt{n} = p/q$
那么：

$$n = \frac{p^2}{q^2}\\\rightarrow p^2 = n q^2$$

所以

p2
$p^2$ 含有因子

n
$n$，又因为



n

$n$ 不是完全平方数，所以

p
$p$ 含有因子



n

$n$，也就是说

p
$p$ 可以写为:

$$p = nm$$

那么

$$n^2 m^2 = n q^2\\n m^2 = q^2$$

所以

q
$q$ 也含有因子



n

$n$，这与

p,q
$p, q$ 是最简分数矛盾。

2(c) $\sqrt[3]{2}$
反证法：如果 $\sqrt[3]{2}$ 是有理数，那么可以表示为 $\sqrt[3]{2} = p/q$
那么：

$$2 = \frac{p^3}{q^3}\\\rightarrow p^3 = 2 q^3$$

所以

p3
$p^3$ 含有因子

2
$2$，所以



p

$p$ 含有因子

2
$2$，也就是说



p

$p$ 可以写为:

$$p = 2m$$

那么

$$8 m^3 = 2 q^3\\4 m^3 = q^3$$

所以

q
$q$ 也含有因子



2

$2$，这与

p,q
$p, q$ 是最简分数矛盾。

2(d) $\sqrt[p]{n}$ 其中 $n$ 不是完全 $p$ 次幂。
反证法：如果 $\sqrt[p]{n}$ 是有理数，那么可以表示为 $\sqrt[p]{n} = P/Q$
那么：

$$n = \frac{P^p}{Q^p}\\\rightarrow P^p = n Q^p$$

所以

Pp
$P^p$ 含有因子

n
$n$，所以



P

$P$ 含有因子

n
$n$，也就是说



P

$P$ 可以写为:

$$P = nm$$

那么

$$n^p m^p = n Q^p\\n^{p-1} m^p= Q^p$$

所以

Q
$Q$ 也含有因子



n

$n$，这与

p,q
$p, q$ 是最简分数矛盾。

第三题

3(a) 对于整系数多项式

$$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$$

如果有有理根，若记其为既约分数

p/q
$p / q$ 那么，证明

p
$p$ 是



a0

$a_0$ 的因子，

q
$q$ 是



an

$a_n$ 的因子。

将 $x = p/q$ 带入原式子中，有：

$$a_n \frac{p^n}{q^n} + a_{n-1} \frac{p^{n-1}}{q^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac{p}{q} + a_0 = 0 \\a_n p^n + a_{n-1} q p^{n-1} + \cdots + a_1 q^{n-1} p + a_0 q^n = 0$$

所以：

$$\frac{a_0 q^n}{p} = - (a_n p^{n-1} + a_{n-1} p^{n-2} q + \cdots + a_1 q^{n-1})\\\frac{a_n p^n}{q} = - (a_{n-1} p^{n-1} + \cdots + a_1 q^{n-2} p + a_0 q^{n-1})$$

所以 $a_0$ 含有因子 $p$，$a_n$ 含有因子 $q$。

3(b) 证明 $\sqrt{2} + \sqrt[3]{2}$ 和 $\sqrt{3} + \sqrt[3]{2}$ 都是无理数。
这道题难度很大，我是借助数学软件才凑出答案的。
设：

$$x = \sqrt{2}\\y = \sqrt[3]{2}\\z = x + y = \sqrt{2} + \sqrt[3]{2}$$

那么可以验算：

$$z = x + y\\z^2 = 2 + 2 xy + y^2\\z^3 = 2 + 2 x + 6 y + 3 x y^2\\z^4 = 4 + 8 x + 2 y + 8 x y + 12 y^2\\z^5 = 40 + 4 x + 20 y + 10 x y + 2 y^2 + 20 x y^2\\z^6 = 12 + 80 x + 60 y + 24 x y + 60 y^2 + 12 x y^2\\z^7 = 280 + 36 x + 60 y + 140 x y + 84 y^2 + 84 x y^2$$

先想办法去掉含有 $y^2$ 的项：

$$z = x + y\\z^3 = 2 + 2 x + 6 y + 3 x y^2\\z^4-12 z^2 = -20 + 8 x + 2 y - 16 x y\\z^5-2 z^2 = 36 + 4 x + 20 y + 6 x y + 20 x y^2\\z^6 - 60 z^2 = -108 + 80 x + 60 y - 96 x y + 12 x y^2\\z^7 - 84 z^2 = 112 + 36 x + 60 y - 28 x y + 84 x y^2$$

再想办法去掉含有

xy2
$x y^2$ 的项：

$$z = x + y\\z^4-12 z^2 = -20 + 8 x + 2 y - 16 x y\\3(z^5-2 z^2) - 20 z^2 = 8 - 28 x - 60 y + 18 x y\\z^6 - 60 z^2 - 4 z^3= -116 + 72 x + 36 y - 96 x y\\3(z^7 - 84 z^2) - 84 z^3 = 168 - 60 x - 324 y - 84 x y$$

再想办法去掉含有 $x y$ 的项：

$$z = x + y\\8(3(z^5-2 z^2) - 20 z^2) + 9(z^4-12 z^2) = 364 - 152 x - 462 y\\(z^6 - 60 z^2 - 4 z^3) -6 (z^4 - 12 z^2) = 4 + 24 x + 24 y\\4 (3 (z^7 - 84 z^2) - 84 z^3) - 21 (z^4 - 12 z^2) = 1092 - 408 x - 1338 y$$

再想办法去掉含有

y
$y$ 的项：

$$8(3(z^5-2 z^2) - 20 z^2) + 9(z^4-12 z^2) + 462 z = 364 + 310 x\\(z^6 - 60 z^2 - 4 z^3) -6 (z^4 - 12 z^2) - 24 z = 4\\4 (3 (z^7 - 84 z^2) - 84 z^3) - 21 (z^4 - 12 z^2) +1338 z = 1092 + 930 x$$

再想办法去掉含有

x
$x$ 的项：

$$(z^6 - 60 z^2 - 4 z^3) -6 (z^4 - 12 z^2) - 24 z = 4\\4 (3 (z^7 - 84 z^2) - 84 z^3) - 21 (z^4 - 12 z^2) +1338 z - 3 (8(3(z^5-2 z^2) - 20 z^2) + 9(z^4-12 z^2) + 462 z)= 0$$

这两个式子化简后的结果是：

$$- 4 -24 z + 12 z^2 - 4 z^3 - 6 z^4 + z^6 = 0 \\12 z + 48 z^2 - 84 z^3 - 12 z^4 - 18 z^5 + 3 z^7 = 0$$

上面第一个式子比较简单，我们就分析这第一个式子。

因为 $a_6 = 1$ 所以如果上面方程有有理数解，那么解的分母只能是 $1$，也就是说解只能是整数。所以$\sqrt{2} + \sqrt[3]{2}$ 是无理数。

设 $x = \sqrt{3} + \sqrt[3]{2}$ 用类似的方法，可以凑出：

$$x^6 - 9 x^4 - 4 x^3 + 27 x^2 - 36 x - 23 = 0$$

因为 $a_6 = 1$ 所以如果上面方程有有理数解，那么解的分母只能是 $1$，也就是说解只能是整数。所以$\sqrt{3} + \sqrt[3]{2}$ 是无理数。

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