实变函数/实分析总结

实变函数/实分析总结实变函数、实分析,整本书满满的证明就讲了一个勒贝格积分。最为大家所熟知的是用牛顿-莱布尼茨公式算的黎曼积分。但是黎曼积分本身依赖于函数的连续性,像不连续的狄利克雷函数就无法积分了。为了解决这一问题,勒贝格利用分割值域的方法,使得函数可积。但是分割出来的值域,只能放在一起,形式集合。集合本身没有“长度”这一概念,所以需要用测度来得到集合的“长度”。(测度=

一、概述。

实变函数又叫实分析,整本书满满的证明就讲了一个勒贝格积分。

最为大家所熟知的是用牛顿-莱布尼茨公式算的黎曼积分。但是黎曼积分本身依赖于函数的连续性,像不连续的狄利克雷函数就无法积分了。

实变函数/实分析总结

为了解决这一问题,勒贝格利用分割值域的方法,使得函数可积。

实变函数/实分析总结

 

实变函数/实分析总结

但是分割出来的值域,只能放在一起,形式集合。

如果我们要求出狄利克雷函数的面积,就需要知道它的边长,也就是长度。

集合本身没有“长度”这一概念,所以需要用测度来得到集合的“长度”。(测度=集合的“长度”)

于是,狄利克雷函数在区间[0,1]的积分=1*m(Q)+0*m(I)。

区间[0,1]的有理数的测度m(Q)=0,区间[0,1]的无理数的测度m(I)=1;所以1*m(Q)+0*m(I)=0。

勒贝格本人举的例子:

假设要数一堆硬币,黎曼积分就是一个一个地数,而勒贝格积分就是先根据硬币的面值分好类,再一小堆一小堆地数。

二、集合。

1、有限覆盖定理。

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有一开区间族B(B1到Bk的并)覆盖了闭区间A,那么可以在B中选出有限个开区间(虚线小圆)来覆盖A。

2、区间套定理。

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若干个闭区间相交,而且一个比一个小,最后交集为一点(同心圆的圆心)。

3、对等和基数。

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集合1和集合2中的元素一一对应,称为对等。对等的集合基数相同,基数可以衡量集合的个数,但是基数不是一个准确的数,而是一个代号。基数又称“势”。

无限集可以与它的真子集对等(有限集没有这个性质)。对等用~来表示。

如:{正整数全体}~{正偶数全体},令x=正整数,那么正偶数φ(x)=2x。

对等关系具有以下性质:自反性、对称性、传递性。

如果A≠B,但是A~B的真子集,那么B的基数比A大。

伯恩斯坦定理(用于建立对等),如下:

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(0,1)  → (0,1)⊆ (0,1] ,(0,1)属于(0,1]的子区间,该子区间与前面的(0,1)对等。

(0,1]  → (0,1/2]⊆ (0,1) ,(0,1/2]属于(0,1)的子区间,该子区间与前面的(0,1]对等。

所以(0,1) ~ (0,1]。

4、可数集合。

全体有理数、正整数是可数集合(所有元素都可以一一列出来)。

一一列出的意思是:如正整数,可以用1,2,3,……,正无穷来列出。

5、不可数集合。

全体实数R、无理数是不可数集合(不能一一列出所有元素)。

三、点集。

1、内点、外点、界点、聚点、孤立点。

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红点在圆内,为内点;黄点在圆边界,为界点;蓝点在圆外,为外点。

红点和黄点是聚点。

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有一集合E=[a,b]并{c}。c点存在去心邻域(黄色区域),均不属于E,则c是孤立点。

2、开核、边界、导集、闭包。

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红色部分和蓝色部分为开核,它不包括边界。

边界,就是圆周,但是圆周可以属于圆(红圆实线黑色边界),也可以不属于圆(蓝圆虚线边界)。

导集=开核+边界。

闭包=集合本身+导集。

3、开集、闭集、完备集。

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红色部分(包括实线黑色边界)为闭集,它的每一个聚点都属于集合本身。蓝色部分(不包括虚线黑色边界)为开集,它的每一个内点都属于集合本身。

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红色部分(包括实线黑色边界)为自密集,它的每一个聚点都属于集合本身。同时,它也是闭集,自密闭集就是完备集。

4、康托尔三分集P的性质。

P是完备集。

P没有内点。因为P的闭包没有内点,所以P是疏朗集。

P的测度为0,P在区间[0,1]的补集的测度为1。

P的基数为c。

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康托尔三分集的Matlab代码如下:

function [] = main() 
clear;close all;clc;
cantorSet(0,10,10,10);

function f = cantorSet(ax,ay,bx,by) %康托尔三分集
c=0.001; %横线的最小宽度
d=0.005; %上、下两条横线的间距

if((bx-ax) > c)
	x = [ax,bx];
	y = [ay,by];
	hold on;
	plot(x,y,'LineWidth',2); % 画线一条线
	hold off;

	cx = ax + (bx-ax)/3; %第一条横线从最左点ax,增加1/3长度
	cy=ay-d; % 横线向下递减d

	dx = bx-(bx-ax)/3; % 第二条横线从最右边bx,减少1/3长度
	dy=by-d; % 横线向下递减d

	ay=ay-d; % 横线向下递减d
	by=by-d; % 横线向下递减d

	cantorSet(ax,ay,cx,cy); % 递归画左边横线
	cantorSet(dx,dy,bx,by); % 递归画右边横线
end

结果如下:

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四、测度论。

1、内测度和外测度。

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内测度,是内填,对应于圆的内接多边形,只要多边形的边数足够多,上确界就能逼近圆的面积。

外测度,是外包,对应于圆的外切多边形,只要多边形的边数足够多,下确界就能逼近圆的面积。

2、外测度的次可数可加性。

因为外测度是外包,要不等于圆的面积,要不大于圆的面积,这就是次可数可加性。而可数可加性就只有等于圆的面积。

3、可测集。

外测度可以从外面包围任意集合,但这不能使得任意集合都可测,于是,外测度需要添加一个条件(卡拉泰奥多里条件):

实变函数/实分析总结

这样,计算测度时,不需要同时使用内外两种测度,而是只使用外测度,大大简化计算。

4、可测集类。

可测集有以下几种类型:

a、凡外测度为零之集皆可测,称为零测度集。

b、零测度集之任何子集仍为零测度集。

c、有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集。

d、区间都是可测集合,且mI=I的“长度”。

e、凡开集、闭集皆可测。

f、凡博雷尔集都是L可测集。

五、可测函数。

 

六、积分论。

 

七、微分与不定积分。

 

 

未完待续。。。

 

 

 

今天的文章实变函数/实分析总结分享到此就结束了,感谢您的阅读。

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