布洛赫定理

Bloch定理

能带理论中，电子满足的薛定谔方程为

[- ℏ 2 2 m \nabla 2 + V (r)] ψ (r) = E ψ (r)

$\left[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf r)\right]\psi(\mathbf r)=E\psi(\mathbf r)$
其中

V (r + R n) = V (r)

$V(\mathbf r+\mathbf R_n)=V(\mathbf r)$

Bloch定理：方程的解为

ψ (r + R n) = e i k \cdot R n ψ (r)

$\psi(\mathbf r+\mathbf R_n)=e^{i\mathbf k\cdot\mathbf R_n}\psi(\mathbf r)$

即，平移晶格矢量 $\mathbf R_n$ 时，波函数只增加位相因子 $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf R_n}$ .

证明

在晶体中引入描述平移操作的算符 $T_1,T_2,T_3,$ 对任意的函数 $f(\mathbf r)$ 满足

T α f (r) = f (r + a α), α = 1, 2, 3

$T_\alpha f(\mathbf r)=f(\mathbf r+\mathbf a_{\alpha}),\alpha = 1,2,3$
其中

aα $\mathbf a_{\alpha}$ 是单位基矢。

平移任意晶格矢量 $\mathbf R_m=m_1\mathbf a_1+m_2\mathbf a_2+m_3\mathbf a_3$ 对应的算符为
$T=T_1^{m_1}T_2^{m_2}T_3^{m_3}$ .对任意的函数 $f(\mathbf r)$ ,

T α T β f (r) = T α f (r + a β) = f (r + a β + a α) = T β f (r + a α) = T β T α f (r)

$T_\alpha T_\beta f(\mathbf r)=T_\alpha f(\mathbf r+\mathbf a_\beta)=f(\mathbf r+\mathbf a_\beta+\mathbf a_\alpha)=T_\beta f(\mathbf r+\mathbf a_\alpha)=T_\beta T_\alpha f(\mathbf r)$

所以 $T_\alpha T_\beta=T_\beta T_\alpha$ ，即平移算符之间相互对易。

对任意的函数 $f(\mathbf r)$ ,

T α H f (r) = [- ℏ 2 2 m \nabla 2 r + a α + V (r + a α)] f (r + a α)

$T_\alpha Hf(\mathbf r)=\left[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\mathbf r+\mathbf a_\alpha}+V(\mathbf r+\mathbf a_\alpha)\right]f(\mathbf r+\mathbf a_\alpha)$
其中

∇2r+aα=∇2r,V(r+Rn)=V(r) $\nabla^2_{\mathbf r+\mathbf a_\alpha}=\nabla^2_{\mathbf r},V(\mathbf r+\mathbf R_n)=V(\mathbf r)$ ,所以

T α H f (r) = [- ℏ 2 2 m \nabla 2 r + V (r)] f (r + a α) = H T α f (r)

$T_\alpha Hf(\mathbf r)=\left[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\mathbf r}+V(\mathbf r)\right]f(\mathbf r+\mathbf a_\alpha)=HT_\alpha f(\mathbf r)$
所以

TαH=HTα $T_\alpha H=HT_\alpha$ ，即

Tα,H $T_\alpha,H$ 对易。所以

Tα $T_\alpha$ 和

H $H$ 有相同的本征函数，即波函数。

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ H ψ = E ψ T 1 ψ = λ 1 ψ T 2 ψ = λ 2 ψ T 3 ψ = λ 3 ψ

$\begin{cases} H\psi=E\psi\\ T_1\psi=\lambda_1\psi\\ T_2\psi=\lambda_2\psi\\ T_3\psi=\lambda_3\psi\\ \end{cases}$

下面需要确定三个本征值。引入周期性边界条件

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ψ (r) = ψ (r + N 1 a 1) = T N 1 1 ψ (r) ψ (r) = ψ (r + N 2 a 2) = T N 2 2 ψ (r) ψ (r) = ψ (r + N 3 a 3) = T N 3 3 ψ (r)

$\begin{cases} \psi(\mathbf r)=\psi(\mathbf r+N_1\mathbf a_1)=T_1^{N_1}\psi(\mathbf r)\\ \psi(\mathbf r)=\psi(\mathbf r+N_2\mathbf a_2)=T_2^{N_2}\psi(\mathbf r)\\ \psi(\mathbf r)=\psi(\mathbf r+N_3\mathbf a_3)=T_3^{N_3}\psi(\mathbf r)\\ \end{cases}$
其中

N1,N2,N3 $N_1,N_2,N_3$ 分别是三个方向上的原胞数目。

将两组方程联立，得到

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ λ 1 = e 2 π i l 1 N 1 λ 2 = e 2 π i l 2 N 2 l 1, l 2, l 3 \in N λ 3 = e 2 π i l 3 N 3

$\begin{cases} \lambda_1=e^{2\pi i\frac{l_1}{N_1}}\\ \lambda_2=e^{2\pi i\frac{l_2}{N_2}}\quad l_1,l_2,l_3\in N\\ \lambda_3=e^{2\pi i\frac{l_3}{N_3}}\\ \end{cases}$

引入简约波矢 $\mathbf k=\dfrac{l_1}{N_1}\mathbf b_1+\dfrac{l_2}{N_2}\mathbf b_2+\dfrac{l_3}{N_3}\mathbf b_3,\mathbf b_1,\mathbf b_2,\mathbf b_3$ 为倒格基矢，则有

⎧ ⎩ ⎨ λ 1 = e k \cdot a 1 λ 2 = e k \cdot a 2 λ 3 = e k \cdot a 3

$\begin{cases} \lambda_1=e^{\mathbf k\cdot\mathbf a_1}\\ \lambda_2=e^{\mathbf k\cdot\mathbf a_2}\\ \lambda_3=e^{\mathbf k\cdot\mathbf a_3}\\ \end{cases}$

所以

ψ (r + R n) = T m 1 1 T m 2 2 T m 3 3 ψ (r) = λ m 1 1 λ m 2 2 λ m 3 3 ψ (r) = e i k \cdot (m 1 a 1 + m 2 a 2 + m 3 a 3) ψ (r) = e i k \cdot R n ψ (r)

$\psi(\mathbf r+\mathbf R_n)=T_1^{m_1}T_2^{m_2}T_3^{m_3}\psi(\mathbf r)=\lambda_1^{m_1}\lambda_2^{m_2}\lambda_3^{m_3}\psi(\mathbf r)=e^{i\mathbf k\cdot(m_1\mathbf a_1+m_2\mathbf a_2+m_3\mathbf a_3)}\psi(\mathbf r)=e^{i\mathbf k\cdot\mathbf R_n}\psi(\mathbf r)$

Bloch定理得证。

讨论

根据Bloch定理，周期势场中的单电子波函数是平面波和周期函数的乘积
$ψ (r) = e i k \cdot r \cdot U (r)$ $\psi(\mathbf r)=e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\cdot U(\mathbf r)$
其中
$U (r + R n) = U (r)$ $U(\mathbf r+\mathbf R_n)=U(\mathbf r)$
即，按照布拉法格子周期性调制的平面波。称为Bloch函数。
简约波矢改变一个倒格矢 $\mathbf G_n=N_1\mathbf b_1+N_2\mathbf b_2+N_3\mathbf b_3$ ，波函数不变，所以简约波矢可以限定在一个倒格子原胞之内，即 $\mathbf k=\dfrac{l_1}{N_1}\mathbf b_1+\dfrac{l_2}{N_2}\mathbf b_2+\dfrac{l_3}{N_3}\mathbf b_3,$
$⎧ ⎩ ⎨ 0 \leq l 1 < N 1 0 \leq l 2 < N 2 0 \leq l 3 < N 3$ $\begin{cases} 0\leq l_1<N_1\\ 0\leq l_2<N_2\\ 0\leq l_3<N_3\\ \end{cases}$
或者将 $\mathbf k$ 限定在第一布里渊区。

本文主要参考Mr. Shen的课件

今天的文章布洛赫定理分享到此就结束了，感谢您的阅读。

Bloch定理

证明

讨论

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