【高等数学&学习记录】集合

1 知识点

集合
指具有某种特定性质的事物的总称。
集合的素
组成集合的事物称为集合的素（简称）。
有限集、无限集
含有限个素的集合，则称为有限集；反之，称为无限集。
子集
设 $A$ 、 $B$ 是两个集合，如果集合 $A$ 的素都是集合 $B$ 的素，则称 $A$ 是 $B$ 的子集，记作 $A\subset B$ 或 $B\supset A$ 。
集合相等
如果集合 $A$ 与 $B$ 互为子集，即 $A\subset B$ 且 $B\subset A$ ，则称集合 $A$ 与集合 $B$ 相等，记作 $A = B$ 。
真子集
若 $A\subset B$ 且 $A\neq B$ ，则称 $A$ 是 $B$ 的真子集。

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差集
由所有属于 $A$ 而不属于 $B$ 的素组成的集合，称为 $A$ 与 $B$ 的差集，记作 $A\setminus B$ 。
余集（补集）
有时，研究某个问题限定在一个大的集合 $I$ 中，所研究的其他集合 $A$ 是 $I$ 的子集，此时，称集合 $I$ 为全集或基本集，称 $I\setminus A$ 为 $A$ 的余集或补集，记作 $A^c$ 。

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交换律
$A\cup B=B\cup A$ ， $A\cap B=B\cap A$
结合律
$(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$
$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
分配律
$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$
$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$
对偶律
$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$ ， $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$

直积
设 $A$ 、 $B$ 是任意两个集合，在集合 $A$ 中任意取一个素 $x$ ，在集合 $B$ 中任意取一个素 $y$ ，组成一个有序对 $(x, y)$ ，把这样的有序对作为新的素，它们全体组成的集合称为集合 $A$ 与集合 $B$ 的直积，记为 $A\times B$ 。

区间是一类数集。
开区间
设 $a$ 和 $b$ 都是实数，且 $a < b$ ，数集 $\lbrace x|a<x<b \rbrace$ 称为开区间，记作 $(a, b)$ 。
闭区间
数集 $\lbrace x|a\leq x \leq b \rbrace$ 称为闭区间，记作 $[a, b]$ 。
半开区间
$[a, b)$ 和 $(a, b]$ 都称为半开区间。

邻域
以点 $a$ 为中心的任何开区间称为点 $a$ 的邻域，记作 $U (a)$ 。
$\delta$ 邻域
设 $\delta$ 是任一正数，则开区间 $(a-\delta, a+\delta)$ 就是点 $a$ 的一个邻域，这个邻域称为点 $a$ 的 $\delta$ 邻域，记作 $U(a,\delta)$ ，即 $U(a,\delta)=\lbrace x|a-\delta < x < a + \delta\rbrace$ 。
去心邻域
点 $a$ 的 $\delta$ 邻域去掉中心 $a$ 后，称为点 $a$ 的去心 $\delta$ 邻域。

【题目】
设 $(-\infty, -5)\cup (5, +\infty)$ ， $B = [- 10, 3)$ ，写出 $A\cup B$ ， $A\cap B$ ， $A\setminus B$ 及 $A\setminus (A\setminus B)$ 的表达式。
【解答】
如图：

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【题目】
设 $A$ 、 $B$ 是任意两个集合，证明对偶律： $(A\cup B)^c=A^c\cup B^c$ .
【证明】
- 对任一 $x\in (A\cap B)^c \Rightarrow x\notin A\cap B\Rightarrow x\notin A$ 或 $x\notin B \Rightarrow x\in A^c$ 或 $x\in B \Rightarrow x\in A^c\cup B^c\Rightarrow (A\cap B)^c\subset A^c\cup B^c$
- 对任一 $x\in (A^c\cup B^c)\Rightarrow x\in A^c$ 或 $x\in B^c\Rightarrow x\notin A$ 或 $x\notin B\Rightarrow x\notin (A\cap B)\Rightarrow x\in(A\cap B)^c\Rightarrow A^c\cup B^c\subset (A\cap B)^c$
- 综上， $(A\cup B)^c = A^c\cup B^c$ 。

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