基本不等式

基本不等式定义

这是我们一般说的基本不等式：对非负实数 \(a,b\)，有

\[a+b\geqslant 2\sqrt{ab} \]

等号成立当且仅当 \(a=b\)。

事实上，这个不等式来自于

\[(x-y)^2\geqslant 0 \]

即

\[x^2+y^2 \geqslant 2xy \]

再令

\[x^2=a\\[10pt] y^2=b\\[10pt] \]

其中 \(a,b\) 是非负实数。

等号成立条件也即 \(x-y=0\)，即 \(a=b\)。

基本不等式链

从上面的不等式，我们可以得到其他的不等式，如：

对正实数 \(a,b\)，有

\[\begin{aligned} \displaystyle\frac{2}{\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}}\leqslant \sqrt{ab} \leqslant\displaystyle\frac{a+b}{2} \leqslant\sqrt{\displaystyle\frac{a^2+b^2}{2}} \end{aligned} \\[10pt] \]

其中，我们已经证明了 $ \sqrt{ab} \leqslant\displaystyle\frac{a+b}{2}$。接下来完成剩下的证明：

证明：

我们先证明：\(\displaystyle\frac{a+b}{2}\leqslant\sqrt{\displaystyle\frac{a^2+b^2}{2}}\)。

要证 \(\displaystyle\frac{a+b}{2} \leqslant\sqrt{\displaystyle\frac{a^2+b^2}{2}}\)，只需证 \(\displaystyle\frac{(a+b)^2}{4}\leqslant \displaystyle\frac{a^2+b^2}{2}\)

即证 \((a+b)^2\leqslant 2(a^2+b^2)\)

即证 \(a^2+2ab+b^2\leqslant 2a^2+2b^2\)

即证 \(2ab\leqslant a^2+b^2\)

这显然成立，且等号成立当且仅当 \(a=b\)。

再证明：\(\displaystyle\frac{2}{\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}}\leqslant \sqrt{ab}\)

要证 \(\displaystyle\frac{2}{\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}}\leqslant \sqrt{ab}\)，只需证 \(\sqrt{\displaystyle\frac{1}{a}\cdot\displaystyle\frac{1}{b}}\leqslant \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}}{2}\)

由 \(\sqrt{ab}\leqslant\displaystyle\frac{a+b}{2}\) 知道 \(\sqrt{\displaystyle\frac{1}{a}\cdot\displaystyle\frac{1}{b}}\leqslant \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}}{2}\) 成立

且等号成立当且仅当 \(\displaystyle\frac{1}{a}=\displaystyle\frac{1}{b}\)，即 $a=b $。

注：\(\displaystyle\frac{2}{\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}}\) 称作 \(a,b\) 的调和平均值。

\(\sqrt{ab}\) 称作 \(a,b\) 的几何平均值。

\(\displaystyle\frac{a+b}{2}\) 称作 \(a,b\) 的算术平均值。

\(\sqrt{\displaystyle\frac{a^2+b^2}{2}}\) 称作 \(a,b\) 的平方平均值。

上面的不等式链可简记为“调几算方”。

基本不等式的应用

一般地，基本不等式用于处理最值的求解及其相关的证明。这里我们按照所给条件的类型来讨论。

和式条件

这里指和为定值的条件，例如正实数 \(x,y\) 满足 \(x+y= 1\) 或 \(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}=1\) 或 $ x+y=xy$。

事实上，这三个条件可以说是完全一致，因为：

对 \(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}=1\) 作换 \(x=\displaystyle\frac{1}{a},y=\displaystyle\frac{1}{b}\)

就得到 \(a +b=1\)。

例1 已知正实数 \(x,y\) 满足 $x+y= 1 $，则 \(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}\) 的最小值为________。

解析： 方法一：由基本不等式链得

\[\displaystyle\frac{2}{\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}}\leqslant \displaystyle\frac{x+y}{2} \\[10pt] \]

故

\[\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}\geqslant \displaystyle\frac{4}{x+y}=4 \\[10pt] \]

等号成立当且仅当 \(x=y=\displaystyle\frac{1}{2}\)。

故答案为 \(4\)。

方法二(化齐次)： 将 \(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}\) 乘 \(x+y\)，

即

\[\begin{aligned} \displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}&=(x+y)(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y})\\[10pt] &=2+\displaystyle\frac{y}{x}+\displaystyle\frac{x}{y}\\[10pt] &\geqslant 2+2\sqrt{\displaystyle\frac{y}{x}\cdot\displaystyle\frac{x}{y}}\\[10pt] &=4 \end{aligned} \\[10pt]\]

等号成立当且仅当 \(\displaystyle\frac{y}{x}=\displaystyle\frac{x}{y}\)，即 \(x=y=\displaystyle\frac{1}{2}\)。

这时候其实有一些问题：如果不能直接用基本不等式链或者 \(x+y=2\not=1\) 怎么办？

这个例题我们解决这两个问题：

例2 已知正实数 \(x,y\) 满足 $x+y= 2 $，则 \(\displaystyle\frac{4}{x}+\displaystyle\frac{9}{y}\) 的最小值为________。

解析：这里就不能直接用不等式链了，考虑化齐次，为此，将 $x+y= 2 $右边改写为 \(1\)， 即 \(\displaystyle\frac{1}{2}(x+y)=1\)，于是

\[\begin{aligned} \displaystyle\frac{4}{x}+\displaystyle\frac{9}{y}&=\displaystyle\frac{1}{2}(x+y)(\displaystyle\frac{4}{x}+\displaystyle\frac{9}{y})\\[10pt] &=\displaystyle\frac{1}{2}(13+\displaystyle\frac{4y}{x}+\displaystyle\frac{9x}{y})\\[10pt] &\geqslant\displaystyle\frac{1}{2}(13+2\sqrt{\displaystyle\frac{4y}{x}\cdot\displaystyle\frac{9x}{y}})\\[10pt] &=\displaystyle\frac{25}{2} \end{aligned} \\[10pt]\]

等号成立当且仅当 \(\displaystyle\frac{4y}{x}=\displaystyle\frac{9x}{y}\)，即 \(3x=2y=\displaystyle\frac{12}{5}\)。

另外，化齐次不只可以通过乘法，还可以通过直接代换 \(1\)。 比如下面这个例子：

例3 已知正实数 \(x,y\) 满足 $x+y= 1 $，则 \(\displaysty