2025年高等代数(一)-多项式05：因式分解定理

编程基础 • 2025-03-29 16:51 • 阅读 20

§ 5 因式分解定理
在这一节,我们讨论多项式的因式分解.
在中学所学代数里我们学过一些具体方法,把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积.
但那里并没有深入地讨论这个问题.那里所谓不能再分,
常常只是我们自己看不出怎样再分下去的意思,
并没有严格地论证它们确实不可再分. 所谓不能再分的概念, 其实不是绝对的,
而是相对于系数所在的数域而言的.例如,在有理数域上,把 $x^{4}-4$ 分解为
$x^{4}-4=\left(x^{2}-2\right)\left(x^{2}+2\right)$
的形式就不能再分了. 但在数域 $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ (参看本章 $§1$ )
上, 或更扩大一些, 在实数域上,就可以进一步分解成
$x^{4}-4=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\left(x^{2}+2\right) .$
而在复数域上, 还可以更进一步分解成
$x^{4}-4=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2} \mathrm{i})(x+\sqrt{2} \mathrm{i}) .$
由此可见,必须明确系数域后,所谓不能再分才有确切的含义.
在下面的讨论中, 仍然选定一个数域 $P$ 作为系数域, 我们考虑数域 $P$
上的多项式环 $P [x]$ 中多项式的因式分解.
定义 8 数域 $P$ 上次数 $\geqslant 1$ 的多项式 $p (x)$ 称为域 $P$
上的不可约多项式, 如果它不能表成数域 $P$ 上的两个次数比 $p (x)$
的次数低的多项式的乘积.

按照定义,一次多项式总是不可约多项式.
正如上面指出的, $x^{2}+2$
是实数域上的不可约多项式,但是它在复数域上可以分解成两个一次多项式的乘积,
因而不是不可约的.这就说明了, 一个多项式是否不可约是依赖于系数域的.
显然, 不可约多项式 $p (x)$ 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍
$\neq$ $0)$ 这两种, 此外就没有了. 反过来, 具有这个性质的次数
$\geqslant 1$ 的多项式一定是不可约的.由此可知, 不可约多项式 $p (x)$
与任一多项式 $f (x)$ 之间只可能有两种关系, 或者 $\mid f(x)$ 或者
$(p (x), f (x)) = 1$

2025年高等代数(一)-多项式05：因式分解定理

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