写在前面

这篇文章我也想了很久要不要写，讲真，高考与这个专题关系并不是很密切，某些题目也并不是说必须要用质心系解法才能写，不然就对纯高考生太不公平了。但是，我也注意到，很多题目用质心系相关解法确实可以简化做题过程，甚至很多公式都可以不用死记硬背，因此我觉得稍微讲一讲还是很有必要的。为了降低大家的学习难度，我也会把这个内容仔细剖析。

在说到我们的正题之前，我们还有一些准备工作要做，因为课本上这部分知识有些是不讲，有些是略讲，所以我们这里先着重提一下，方便我们后面展开论述。

引理一

考虑一个质点，若它对地速度为

引理二

考虑质点1和质点2，若质点1在S系中速度为

引理三

考虑一个质点，设它对地速度为

由引理一、引理二可得到：

若设参考系

所以我们就得到某个质点在不同参考系中的速度与参考系间相对速度的关系了。

为了方便大家熟悉理解此式，我们设质点在A系中速度为

B系中速度为 A系相对B系速度为

注意这里的

参考系间的相对速度，而不是两个质点间的相对速度；引理三中从头到尾都只是研究 一个质点在不同参考系中的速度与参考系间相对速度的关系。

能够注意到，这个式子与两个质点间绝对速度与相对速度的关系很像，只是下标恰好相反，这也不妨是一种记忆这个式子的方式。当然我的建议是遇到这种问题可以现推，强记很容易记错。

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一，质心的简单性质

质心位矢、质心速度、质心加速度

什么是质心？在均匀重力场中，质心和重心的位置是重合的。

展开说很麻烦，可以按照理解重心的方式去理解质心。我们先给出定义：

对于一个含有

不妨令

即为质心位矢的定义式.

我们对质心位矢对时间求导，就可以得到质心速度：

同理，继续对速度对时间求导，可以得到质心加速度：

质心质量

质心作为一个等效点，质心质量就等于该质点系的总质量，即：

注：由于质心质量

质心动量

我们考虑一个有

将上式全部相加，可以得到：

我们知道，根据牛顿第三定律，系统内部各个质点所受到的内力必然存在一个等大反向作用于施力质点的反作用力，即上面所说的

不妨令合外力

这个式子告诉我们：对于一个质点系而言，只有合外力才会导致系统总动量发生变化，内力不影响系统总动量.

我们不妨进一步探究：

因为

结合质心加速度即

这个式子告诉我们，合外力是引起质心加速度的原因.

也就是说，当系统所受合外力为0时，质心加速度为0，即质心速度不变.

故：当系统所受合外力为零时，质心速度不变.

最后，我们来研究系统总动量与质心动量的关系：

系统总动量为

质心动量为

因此

这个式子告诉我们，系统动量就等于质心动量，二者完全等价.

二，柯尼希定理

我们已知有两个参考系，一个是平动参考系

我们取一个质点系，一共有

现在我们将参考系转换为质心参考系，我们设质心参考系中每个质点的速度为

根据引理三中式

其中，

到这里我们进度先放缓一些，思考一个问题：如何求A系相对S系的平动速度？条件似乎缺少了？其实并没有缺少。我们首先需要知道，A系和S系两个参考系是相互独立的，不相互影响。然后我们来看一下质心参考系的性质：质心参考系的平动速度与质心平动速度相同。有些同学认为这里条件可能有些模糊：这个平动速度是相对什么参考系的平动速度？很显然，因为S参考系本身的平动速度是对地的绝对速度，所以这个平动速度是对地速度，或者说是相对于绝对静止的参考系的速度。也就是说，S系的平动速度等于质心的绝对速度。

注：对于不太理解的同学我这里再啰嗦几句，S系的平动速度是相对于地面的速度，而由于S系 是质心参考系，必须与质心保持相对静止，因此两者的绝对速度必须相等，也就是S系的平动速度等于质心的绝对速度.（PS:我这里的对地速度就是绝对速度，二者是等价的）

我们写到这里发现，我们似乎没有设质心的绝对速度这个物理量，没事，我们设上就行：

设质心对地速度为

又S系平动速度等于质心对地速度，则：

所以：

换一下下标：

这个式子是说，质心系

.

将上式代入

推了这么久大家可能忘记了，我再重复一下：上式中，

下面我们开始计算质心系中质点系的总动能：

下面我们对上式每一项进行探究：

上式第一项我们很熟悉，结合式

我们知道，第二项求和号

第三项，根据向量点乘的分配律

我们又知道，根据质心速度的定义式

所以将上式代入式

所以将式

移项整理得：

注意到上式等式右边第二项中的

这个式子告诉我们，质点系在参考系

, 柯尼希定理，有时候我们为了使其看起来更整齐，也可写为：

这个式子很好理解也很好记忆，质心系在参考系的转换中起到了很关键的作用。因为质点系在质心系中的动能这一项并不会随着参考系的变化而变化，所以将参考系从

另外一点要注意的是，这个式子适用范围很广，可能会有你想不到的妙用；而且柯尼希定理成立与否与质心系是否是惯性系没有关系。

三，两体问题初介绍

有的同学可能看到两体就会想起三体，然后脑中就突然冒出一句”消灭地球暴政，世界属于三体！“的稀奇古怪的话来....

跑远了，两体问题没那么难，也没有你想的那么简单。接下来我们将初步介绍两体问题，以后可能会出一篇深入了解两体问题的文章。

什么是两体问题？

两体问题一般来说有两个要点（直接从百度上抄了，书不在身边）：

1.两个质点是完全孤立的二体系统，外界对其没有作用

2.两个质点间的相互作用力均沿两点连线方向且力的大小与距离的平方成反比

很典型的例子有天体运行问题，以及两质点只在万有引力的作用下发生碰撞的问题。

但这些问题高中范围内几乎不涉及，只会有定性分析问题，难度不大，我这里就不展开了，有机会放到下一篇文章里说。

但我们也可以提出一个广义的二体系统，仍然是孤立的系统，但两个质点相互之间忽略万有引力的作用，我们这里就把它叫做”二质点系“，下面我们就来研究二质点系的动能和质心动能的联系.

二质点系动能定理

在展开写之前，先注明一件事：由于矢量符号编辑太繁琐，因此将用斜粗体来表示矢量，比如：

标量：

矢量：

应该是可以比较明显地区分的.

延续我们之前设定的标准，我们依然取平动参考系

我们这里研究二质点系在质心系下的动能定理，我们设质点系在质心参考系

根据运动的相对性可知，只要两质点在同一参考系中，那么它们的相对速度一定不变，设质点1相对质点2的速度为

写到这里我们发现似乎进行不下去了，想将

质心系下的质点系动量

在有

现在我们变换参考系，将参考系变换为质心参照系

即：

上面过程之前该解释的都解释过了，细节自己往前面翻阅，符号的规定跟之前没有区别。

所以从上式可以看出，在质心参考系中，质点系的总动量为0.

或者说，质心系是个零动量系.

我们再回到我们的问题，上面的推论告诉我们，质心系下该二质点系总动量为0，所以我们可以根据这个推论写出方程：

联立

解法很简单，只需要把两质点在质心系中的速度代换成两质点的相对速度即可解出两者之间的关系,我这里就不展示了，直接把结果写出来：

求出结果之后是不是有一种一阵颤抖之后了无兴趣的感觉？？？hhh，希望你没有，因为我们要探究的是两质点系在质心系下的动能问题，我们现在只是求出来了两质点系在质心系下的速度与两质点相对速度的关系.那么自然，下一步我们就要开始写质心系下的总动能

我们能够发现上式很整齐，只有一项且符合

则可以得到：

这就是质点系在质心参考系

为了方便研究和称呼，我们把

折合质量，可以理解为是质心系下将两个质点等效为一个质点时这个质点的质量.注意到式 相对动能

结合柯尼希定理

我们将式

所以我们如果要求某平动参考系下的质点系动能，只需要求出质点系的相对动能和质心在该平动系下的动能即可.

注意：式

对于柯尼希定理对二体系统的应用的进一步理解

式

不妨考察一个二体系统，由于内力可以对系统做功，系统总动能可能会发生变化，两质点间可以相互作用，所以相对速度也有可能发生变化，即相对动能会发生变化。但是，只要质量不损失，外力对二体系统无作用，那么质心动能这一项一定是不变的，这一性质就为我们研究碰撞提供了极大的便利。

对于孤立二体系统而言，当两质点发生碰撞后，由于质心动能保持不变，所以唯一变化的只有相对动能.比如在完全非弹性碰撞后，两质点共速，即相对速度为0，意味着相对动能完全损失，所以前后能量变化量等于相对动能的大小.

上述应用有很多，比较简单，我就简单说一个例子，不再展开了。

比如：沙袋用吊绳悬挂，一子弹射入沙袋后一起绕悬挂点摆动，求最大摆动角的问题。

在这个问题中，碰撞结束后的动能就等于质心动能，当位于最大摆动角时质心动能完全转化为重力势能，所以我们只需要在碰撞前采用柯尼希定理对二体系统的应用即可求出质心动能.

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好了，质心系一些常用定理就讲到这里，下一篇文章我们会进一步探究质心系在天体运动、二体问题中的一些应用.