排列组合解析与例题总结

排列数公式

公式P是排列公式，从N个元素取M个进行排列（即排序）。（P是旧用法，现在教材上多用A，即Arrangement）

排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示。 p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1)

组合数公式

排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关。
如231与213是两个排列，2+3+1的和与2+1+3的和是一个组合。
C(n,m)=C(n,n-m）。（n≥m)

组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。

基本计数原理

加法原理和分类计数法

加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

乘法原理和分步计数法

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

例题

一.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有C31
然后排首位共有C41
最后排其它位置共有A43
由分步计数原理得C31*C41*A43=288

二.相邻元素捆绑策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有A22*A22*A55种不同的排法。

三.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A55种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有A64种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有A55*A64种

四.定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：A77/A33

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A74种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有A74种方法。

定序问题可以用被缩法，还可以转化为占位插

五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有7*7*7*7*7*7种不同的排法

六.环排问题线排策略

例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A44并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！

一般地，n个不同元素做圆形排列，共有（n-1）!种排法，如果从n个不同元素中取出m个元素做圆形排列共有1/n*Amn

七.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有A42种,再排后4个位置上的特殊元素丙有A41种,其余的5人在5个位置上任意排列有A55种,则共有种A42*A41*A55

一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C52种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有A44种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C52*A44

解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想

九.小集团问题先整体后局部策略

小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其他策略进行处理。

十.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应
地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C96种分法。

将n个相同元素分成m份，每份至少一个元素，可以用m-1快隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所以分法有C（n-1）(m-1)

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