三阶段DEA方法

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补充：

第一阶段——传统DEA模型

数据包络分析方法（Data Envelnt Analysis，简称DEA）是管理科学、系统工程和运筹学等领域最为常见的一种非参数前沿效率分析方法，它不需要设定生产函数的具体形式,能够处理多输入多输出系统,是一种要素投入与产出之间的相对效率评价的系统分析方法。

早在1978年，美国著名运筹学家A.Charnes、W.Cooper和E.Rhodes最先提出简称为DEA-CCR模型，假设规模报酬不变。随后Banker[26] 等人对其进行扩展，将CCR模型中的技术效率（TE）分解为纯技术效率（PTE）与规模效率（SE）的乘积，即TE=PTE×SE，便得到了DEA-BCC模型，并且规模报酬可变，这解决了某些决策单元可能处在递增或递减的变动规模报酬下生产的问题。BCC模型分为投入导向型和产出导向型。就土地利用效率评价来说，投入变量是决策的基本变量，比较容易控制，而对产出变量的控制相对困难。因此本文选择投入导向型的BCC模型。

假设有n个决策单元（Decision Making Unit，简称DMU），每个DMU都有m种类型的要素投入和s种类型的产出；xik（xik > 0，k=1, 2, …, m）表示第k个DMU的第i种投入量,yjk（yjk > 0，k=1, 2, …, s）表示第k个DMU的第j种产出量，记作Xj= (x1j, x2j, …, xmj )T，Yj = (y1j, y2j, …, ysj )T，j=1, 2, …, n。投入导向型DEA-BCC模型为：

其中，θ是被考察决策单元的总效率值，取值范围为[0,1]。当θ=1时，该决策单元位于前沿面上，处于DEA有效状态；当0≤θ<1时，该决策单元处于非DEA有效状态。

第二阶段——调整投入指标变量

第一阶段分析出来的投入产出松弛变量可能受到外部环境因素、随机误差以及内部管理因素影响，通过随机前沿分析方法（Stochastic Frontier Analysis，简称SFA）对上述因素进行测算并将其影响剔除。

假设第k个DMU的第i个投入项为Xik，其松弛变量为Sik，则Sik =Xik－Xiλ≥0；Zk=(z1k, z2k, … , zpk)表示外部环境变量，βi为外部环境变量的待估参数；f (Zk, βi)表示外部环境变量对投入松弛变量Sik的影响，一般取f (Zk, βi)=Zk βi；Vik + Uik为混合误差项，Vik 为随机干扰项，并假设Vik ~N(0, σvi 2)；Uik表示管理无效率，并假设Uik服从截断正态分布，即Uik ~N(μi, σμi 2)；Vik与Uik独立不相关。γ = σμi 2/(σμi 2+σvi 2)为技术无效率方差占总方差的比重，当γ的值趋近于1时，表示管理因素的影响占主导地位；当γ的值趋近于0时，则表示随机误差的影响占主导地位。得到SFA回归方程为：

利用SFA模型的回归结果对各个决策单元的投入变量按（2）式进行调整，原则是将所有的决策单元调整至面临相同的外部环境特征和客观运气。

其中，Xik*为调整后的投入量，Xik为原始投入量，为环境变量参数的估计值，为随机误差的估计值。式（3）中前一个中括号表示将所有决策单元调整至相同的外部环境下，后一个中括号表示将所有决策单元的随机误差调整为相同情形，使每个决策单元都面临相同的外部环境和运气。