舒尔（
Schur
\texttt{Schur}
Schur）不等式1
具体内容
Schur
\texttt{Schur}
Schur 不等式：
x
，
y
，
z
x，y，z
x，y，z 为非负实数，
r
r
r 为实数时，下列不等式成立
x
r
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
y
r
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
z
r
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
≥
0
x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y)\ge 0
xr(x−y)(x−z)+yr(y−x)(y−z)+zr(z−x)(z−y)≥0
例子
-
r
=
0
r=0
r=0 时
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
≥
0
(x-y)(x-z)+(y-x)(y-z)+(z-x)(z-y)\ge 0
(x−y)(x−z)+(y−x)(y−z)+(z−x)(z−y)≥0
⇔
x
2
+
y
2
+
z
2
−
x
y
−
y
z
−
z
x
≥
0
\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\ge 0
⇔x2+y2+z2−xy−yz−zx≥0
⇔
1
2
{
(
x
−
y
)
2
+
(
y
−
z
)
2
+
(
z
−
x
)
2
}
≥
0
\Leftrightarrow \frac{1}{2}\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\} \ge 0
⇔21{(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2}≥0
r
=
1
r=1
r=1 时
x
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
y
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
z
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
≥
0
x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)\ge 0
x(x−y)(x−z)+y(y−x)(y−z)+z(z−x)(z−y)≥0
⇔
x
3
+
y
3
+
z
3
+
3
x
y
z
≥
x
y
(
x
+
y
)
+
y
z
(
y
+
z
)
+
z
x
(
z
+
x
)
\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)
⇔x3+y3+z3+3xyz≥xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)
r
=
1
2
r=\dfrac{1}{2}
r=21 时
x
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
y
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
z
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
≥
0
\sqrt{x}(x-y)(x-z)+\sqrt{y}(y-x)(y-z)+\sqrt{z}(z-x)(z-y)\ge 0
x
(x−y)(x−z)+y
(y−x)(y−z)+z
(z−x)(z−y)≥0
⇔
x
3
2
(
y
+
z
−
x
)
+
y
3
2
(
z
+
x
−
y
)
+
z
3
2
(
x
+
y
−
z
)
≤
x
y
z
(
1
x
+
1
y
+
1
z
)
\Leftrightarrow x^{\frac{3}{2}}(y+z-x)+y^{\frac{3}{2}}(z+x-y)+z^{\frac{3}{2}}(x+y-z)\le xyz\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)
⇔x23(y+z−x)+y23(z+x−y)+z23(x+y−z)≤xyz(x
1+y
1+z
1)
证明
证明：
左边是
x
,
y
,
z
x,y,z
x,y,z 的对称式，设
x
≥
y
≥
z
x\ge y\ge z
x≥y≥z 不失一般性．
-
r
>
0
r>0
r>0 时
x
r
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
y
r
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
z
r
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y)
xr(x−y)(x−z)+yr(y−x)(y−z)+zr(z−x)(z−y)
=
(
x
−
y
)
{
x
r
(
x
−
z
)
−
y
r
(
y
−
z
)
}
+
z
r
(
x
−
z
)
(
y
−
z
)
=(x-y)\{x^r(x-z)-y^r(y-z)\}+z^r(x-z)(y-z)
=(x−y){xr(x−z)−yr(y−z)}+zr(x−z)(y−z)
x
r
≥
y
r
≥
0
,
x
−
z
≥
y
−
z
≥
0
x^r\ge y^r \ge 0,\ x-z\ge y-z \ge 0
xr≥yr≥0, x−z≥y−z≥0
因为(
x
−
y
)
[
x
r
(
x
−
z
)
−
y
r
(
y
−
z
)
]
≥
0
，
(x-y)\left[x^r(x-z)-y^r(y-z)\right]\ge 0\text{，}
(x−y)[xr(x−z)−yr(y−z)]≥0，又因为
z
r
≥
0
,
x
−
z
≥
0
,
y
−
z
≥
0
,
z
r
(
x
−
z
)
(
y
−
z
)
≥
0
z^r\ge 0,\ x-z\ge 0,\ y-z \ge 0, z^r(x-z)(y-z)\ge 0
zr≥0, x−z≥0, y−z≥0,zr(x−z)(y−z)≥0根据
(
x
−
y
)
{
x
r
(
x
−
z
)
−
y
r
(
y
−
z
)
}
+
z
r
(
x
−
z
)
(
y
−
z
)
≥
0
(x-y)\{x^r(x-z)-y^r(y-z)\}+z^r(x-z)(y-z)\ge 0
(x−y){xr(x−z)−yr(y−z)}+zr(x−z)(y−z)≥0所以，
x
r
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
y
r
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
z
r
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
≥
0
x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y)\ge 0
xr(x−y)(x−z)+yr(y−x)(y−z)+zr(z−x)(z−y)≥0
-
r
≤
0
r\le 0
r≤0 时
x
r
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
y
r
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
z
r
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y)
xr(x−y)(x−z)+yr(y−x)(y−z)+zr(z−x)(z−y)
=
x
r
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
(
y
−
z
)
{
z
r
(
x
−
z
)
−
y
r
(
x
−
y
)
}
=x^r(x-y)(x-z)+(y-z)\{z^r(x-z)-y^r(x-y)\}
=xr(x−y)(x−z)+(y−z){zr(x−z)−yr(x−y)}同理可得，
x
r
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
y
r
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
z
r
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
≥
0
x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y)\ge 0
xr(x−y)(x−z)+yr(y−x)(y−z)+zr(z−x)(z−y)≥0
例题
1
a
,
b
,
c
a,b,c
a,b,c 为非负实数时，请证明以下不等式。
(
a
+
b
−
c
)
(
b
+
c
−
a
)
(
c
+
a
−
b
)
≤
a
b
c
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\le abc
(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)≤abc
2 非负实数
a
,
b
,
c
a,b,c
a,b,c 有
a
+
b
+
c
=
1
a+b+c=1
a+b+c=1，请证明以下不等式。
a
3
+
b
3
+
c
3
+
6
a
b
c
≥
1
4
a^3+b^3+c^3+6abc\ge \frac{1}{4}
a3+b3+c3+6abc≥41
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-
[2022/04/09更新] 由于
tag
\texttt{tag}
tag 中没有
数论数学等标签，所以现在的标签是错误的。 ↩︎
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