什么是差分数组？_差分矩阵的定义[通俗易懂]

问题背景

如果给你一个包含5000万个元素的数组，然后会有频繁区间修改操作，那什么是频繁的区间修改操作呢？比如让第1个数到第1000万个数每个数都加上1，而且这种操作时频繁的。

此时你应该怎么做？很容易想到的是，从第1个数开始遍历，一直遍历到第1000万个数，然后每个数都加上1，如果这种操作很频繁的话，那这种暴力的方法在一些实时的系统中可能就拉跨了。

因此，今天的主角就出现了——差分数组。

算法原型

比如我们现在有一个数组arr，arr={0,2,5,4,9,7,10,0}

那么差分数组是什么呢？其实差分数组本质上也是一个数组，我们暂且定义差分数组为d，差分数组d的大小和原来arr数组大小一样，而且d[i]=arr[i]-arr[i-1](i≠0)，且d[i]=0，它的含义是什么？就是原来数组i位置上的元素和i-1位置上的元素作差，得到的值就是d[i]的值。

所以，例子中的arr数组其对应的差分数组值如下图所示。

那么构造了这么个玩意有什么用呢？难道是来浪费宝贵的内存空间的？嗯，确实是来浪费宝贵的内存了，但是却换了时间上的高效。

现在我们有这么一个区间修改操作，即在区间1~4上，所有的数值都加上3.

我们不要傻傻地遍历arr数组的[1，4]范围，然后再分别给每个值加上3，我们此时更改差分数组d即可。

显而易见，差分数组d在[2，4]范围内的值都不用改变，只需要改变差分数组位置1和位置5的值即可，即d[1]=d[1]+3，而d[5]=d[5]-3，其余不变，为什么呢？因为差分数组的定义——d[i]=arr[i]-arr[i-1]

现在，我们如何根据差分数组d来推测arr中某一个位置的值呢？

比如，此时，我们想知道arr[1]的值，我们不能直接通过arr[1]得到原来的值，因为在区间修改的操作中我们并没有修改arr的值，因此我们必须从前往后遍历递推，由于d[0]=arr[0]-0(我们定义arr[0]的前一个数为0)，那么arr[0]=d[0]=0，又由于d[1]=arr[1]-arr[0]=5，那么arr[1]=5+arr[0]=5。以此类推，由于d[2]=arr[2]-arr[1]=3，所以arr[2]=3+arr[1]=8。

总结

可以看到，如果需要对L~R范围内所有数都进行相同的操作，我们不需要从L~R遍历arr然后在每个值上进行相同操作，只需要在差分数组d中改变L和R+1的值即可。但是在查询arr数组中某个位置的数时，却要根据差分数组从前往后递推求值。

所以，该方法适用于区间频繁修改，而且这个区间范围是比较大的，离线查询的情况。

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