黄金分割法 matlab_写出黄金分割法算法步骤

基本思想

黄金分割法也称为 0.618 法，其基本思想是通过取试探点和进行函数值比较，使包含极小点的搜索区间不断缩短以逼近极小值点。适用于确定区间上的任何单谷函数求极小值的问题。

公式推导

设有定义在$[a,b]$上的单谷函数$$\phi \left(\alpha \right)=f\left(x_k+\alpha d_k\right)$$在$[a,b]$上取两个试探点$x_1$、$x_2$，且$x_1<x_2$。计算$\phi \left(x_1\right)$、$\phi \left(x_2\right)$,可能会出现以下两种情形：

1. $\phi \left(x_1\right)⩽\phi \left(x_2\right)$,则令$a_1=a$，$b_1=x_2$
2. $\phi \left(x_1\right)>\phi \left(x_2\right)$,则令$a_1=x_1$，$b_1=b$

我们要求试探点满足下列两个原则：

• $b-x_1=x_2-a$ （对称原则）
• $\lambda =\frac{新区间长度}{原区间长度}=$定值（保持缩减比）

从而可得
$$\{\begin{array}{l}{x}_1=a+\left(1-\lambda \right)\left(b-a\right)\\ x_2=a+\lambda \left(b-a\right)\end{array}$$
考虑情形1，此时新的搜索区间为$[a_1,b_1]$，选取新的试探点$x_3$、$x_4$，此时有：
$$\begin{gathered} x_4=a_1+\lambda \left(b_1-a_1\right) \\ =a+\lambda \left(x_2-a_1\right) \\ =a+{\lambda }^2\left(b-a\right) \end{gathered}$$
若令${\lambda }^2=1-\lambda \left(\lambda >0\right)$,则有
$$x_4=a+\left(1-\lambda \right)\left(b-a\right)=x_1$$
此时新的试探点$x_4$就不需要重新计算，类似的，对于情形2也有类似的结果。解方程${\lambda }^2=1-\lambda$得$\lambda \approx 0.618$。

具体练习及Matlab实现

使用黄金分割法计算如下问题：$$minf\left(x\right)=2x^2-x-1$$初始区间取$[-1,1]$，区间精度取$\delta =0.08$。

clc;
clear;
a = -1;b = 1; %初始区间
f = @(x) 2 * x ^ 2 -  x - 1; %创建题目要求匿名函数，方便使用
eps = 0.08; %区间精度
while((b - a) >= eps)
    x1 = a + 0.382 * (b - a);
    x2 = a + 0.618 * (b - a); %黄金分割法主要步骤
    if f(x1) < f(x2) %两种情形的判断
        b = x2;
    else
        a = x1;
    end
end
x = (a + b) / 2; %得到满足条件的最优解
disp(['最优解： x = ',num2str(x)]);
disp(['此时: f(x) = ',num2str(f(x))]);%使用disp函数和num2str()进行输出

此程序也可改写成函数，此处不再赘述。

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