matlab 抛物线_抛物线原理通俗理解

基本思想

抛物线法也叫二次插值法，其基本思想是：在搜索区间中不断地使用二次多项式去近似目标函数，并逐步用插值多项式的极小点去逼近线搜索问题
$$min\phi \left(\alpha \right)=f\left(x_k+\alpha d_k\right)$$

方法原理及推导

设函数在单谷区间$x_1<x_2<x_3$的函数值$f(x_1)>f(x_2)<f(x_3)$做出如下的二次插值多项式：
$$P\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2$$

它应满足条件：
$$\{\begin{array}{l}P\left(x_1\right)=a_0+a_1{x}_1+a_2{x}_1^2=f_1=f\left(x_1\right)\\ P\left(x_2\right)=a_0+a_1{x}_2+a_2{x}_2^2=f_2=f\left(x_2\right)\\ P\left(x_3\right)=a_0+a_1{x}_3+a_2{x}_3^2=f_3=f\left(x_3\right)\end{array}$$

从极值的必要条件知$P^{{}^{\prime }}\left(\bar{x}\right)=a_1+2a_2\bar{x}=0$，求得$$\bar{x}=-a_1/2a_2$$

易知：$$\begin{gathered} a_1\left(x_1-x_2\right)+a_2\left(x_1^2-x_2^2\right)=f_1-f_2 \\ {a}_1\left(x_2-x_3\right)+a_2\left(x_2^2-x_3^2\right)=f_2-f_3 \end{gathered}$$

求出系数$a_1$和$a_2$，就可以求得抛物线方程极小值表达式。
其表达式为：

$$\bar{x}=-a_1/2a_2=\frac{1}{2}\frac{\left(x_2^2-x_3^2\right)f_1+\left(x_3^2-x_1^2\right)f_2+\left(x_1^2-x_2^2\right)f_3}{\left(x_2-x_3\right)f_1+\left(x_3-x_1\right)f_2+\left(x_1-x_2\right)f_3}$$

将其进行化简，可得另一种乘除计算量小的运算表达式：

$$\{\begin{array}{l}\bar{x}=-a_1/2a_2=\frac{1}{2}\left(x_1+x_3-\frac{c_1}{c_2}\right)\\ c_1=\frac{f_1-f_3}{x_1-x_3},c_2=\frac{\frac{f_1-f_2}{x_1-x_2}-c_1}{x_2-x_3}\end{array}$$

算法步骤：

1、寻找满足如下条件的点，成为两头大中间小的点：$x_1<x_2<x_3$,$f(x_1)>f(x_2),f(x_2)<f(x_3)$。

2、两头大中间小，可得$a_2>0$, 计算$\bar{x}=\frac{1}{2}(x_1+x_3-\frac{c_1}{c_2})$,为$P(x)$的极小值点，且$\bar{x}\in \left[x_1,x_3\right]$。

3、若$\left|x_2-\bar{x}\right|<\epsilon$，则迭代结束，取$x^{\ast }=\bar{x}$，否则在点$x_1,x_2,x_3,\bar{x}$中，选取使$f(x)$最小的点作为新的$x_2$，并使新的$x_1$, $x_3$各是新的$x_2$近旁的左右两点，继续进行迭代，直到满足终止准则。

具体练习及程序实现

使用抛物线插值法计算如下问题的近似最优解：
$$minf\left(x\right)=x^3-2x+1$$

设初始搜索区间$\left[a,b\right]$=$\left[0,3\right]$，区间精度取$\epsilon ⩽0.01$。

clc; clear; x1 = 0; x2 = 1; x3 = 3; eps = 0.01; f=@(x) x^3 - 2 * x + 1; %创建题目要求匿名函数，方便使用 while 1 f1=f(x1); f2=f(x2); f3=f(x3); a1=2*(f1*(x2-x3)+f2*(x2-x1)+f3*(x1-x2)); a2=(f1*(x2^2-x3^2)+f2*(x2^2-x1^2)+f3*(x1^2-x2^2)); xx=a2/a1; %计算极小值点xx if abs(x2-xx)<eps %下面为具体迭代过程 x=xx; f_x=f(xx); break else if (xx-x1)*(xx-x2)<0 if f(xx)<=f2 x3=x2; x2=xx; else x1=xx; end else if f(xx)<=f2 x1=x2; x2=xx; else x3=xx; end end end end disp(['最优解： x = ',num2str(x)]); disp(['此时: f(x) = ',num2str(f_x)]) %使用disp函数和num2str()进行输出 

算法原理及程序实现简单，暂不使用函数模块化方法。

注：程序中使用while 1的原因是下面程序中需要使用break判断迭代的终止，而break只能在for或while循环中使用。

输出结果

运行程序，得到输出结果为：

最优解：x=0.7992 此时：f(x) = -0.0879 

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