Lyapunov稳定性分析3(离散时间系统)
注:Lyapunov稳定性理论主要内容:李雅普诺夫第一方法和第二方法,本篇文章继续上一篇分析线性离散时间系统稳定性,非线性系统稳定性将单独写文章进行分析!敬请关注,谢谢~
一、李雅普诺夫稳定性判定
1.1 Lyapunov两类稳定性方法分析:
(1)Lyapunov渐近稳定的充要条件(第一方法):A的特征值模均小于1;
(2)Lyapunov渐近稳定的充要条件(第二方法):对于任意的正定矩阵Q,存在**正定矩阵P**满足Lyapunov方程:
证明:
和连续时间系统一样,取Lyapunov函数为:
则有
与连续时间系统一样,令:
即为Lyapunov方程,则:
只要Q正定,Lyapunov函数变化率为负数,能量随着时间增加肯定逐渐减小至收敛。和连续时间系统一样,一般也是先确定Q,然后求解Lyapunov方程,最后找到正定的P,Q一般取单位阵。
1.2 总结:
二、举例
2.1 MATLAB函数形式:
注意:
同连续时间系统Lyapunov稳定性一样,这里只求解开环系统稳定性,只分析系统矩阵A,还没有涉及到闭环系统反馈矩阵K以及闭环状态状态矩阵Acl=(A–BK)
2.2 MATLAB函数实例:
eg1. 确定二阶系统在原点处的稳定性
在Lyapunov方程中,取Q =I,得
>> P=[52/27 40/27;40/27 100/27]
P =
1.9259 1.4815
1.4815 3.7037
用MATLAB函数dlyap()
>> A=[0 0.5;-0.5 1];Q=eye(2,2)
Q =
1 0
0 1
>> P=dlyap(A',Q)
P =
1.9259 -1.4815
-1.4815 3.7037
从而系统在原点的平衡状态是大范围渐近稳定的。
eg2. 求线性定常离散时间系统的稳定性条件
eg3. 求线性定常离散时间系统的稳定性条件
>> eig(A)
ans =
1
1
A的特征值模均等于1;所以该系统不稳定,Lyapunov方程无解。
>> A=[0.99 0;0 0.99];Q=eye(2,2);dlyap(A',Q)
ans =
50.2513 0
0 50.2513
>> eig(A)
ans =
0.9900
0.9900
A的特征值模均等于1;所以该系统稳定,Lyapunov方程有解。
三、离散Lyapunov方程的解
形式
区别:与第一、二章的区别在于在Q的基础上加了KTRK
>> A
A =
1.1000 2.0000
0 0.9500
>> B
B =
0
0.0790
>> Q
Q =
1 0
0 1
>> R
R =
0.1000
先用离散dlqr()函数求解最优反馈增益矩阵K
[K,P,r] = dlqr(A,B,Q,R)
K =
2.4950 12.5106
P =
4.0373 8.5226
8.5226 31.5400
r =
0.5308 + 0.2651i
0.5308 - 0.2651i
① 根据lyapunov方程可知闭环系统矩阵Q2=Q+KTRK
② 再求解闭环系统矩阵Acl
>> Acl=A-B*K
Acl =
1.1000 2.0000
-0.1971 -0.0383
>> eig(Acl)
ans =
0.5308 + 0.2651i
0.5308 - 0.2651i
闭环系统矩阵特征值在单位圆内,所以系统稳定
再来求解Lyapunov方程P
>> P=dlyap(Acl',Q2)
P =
4.0373 8.5226
8.5226 31.5400
再求解反馈矩阵Kmpc
Q_ =
1.0000 0 0 0 0 0 0 0
0 1.0000 0 0 0 0 0 0
0 0 1.0000 0 0 0 0 0
0 0 0 1.0000 0 0 0 0
0 0 0 0 1.0000 0 0 0
0 0 0 0 0 1.0000 0 0
0 0 0 0 0 0 4.0373 8.5226
0 0 0 0 0 0 8.5226 31.5400
>> K_=(Fai'*Q_*Fai+R_)^(-1)*Fai'*Q_*F
K_ =
2.4950 12.5106
0.2785 4.5107
-0.5822 0.3856
-0.7165 -1.1786
发现第一个k跟dlqr()求出的结果相同
今天的文章离散系统稳定性判据_离散系统的因果性和稳定性分享到此就结束了,感谢您的阅读。
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