©作者 | 程引
单位 | 日本BizReach公司
研究方向 | 推荐系统、自然语言处理
负采样(Negative Sampling, NEG)/噪声对比估计(Noise Contrastive Estimation, NCE)/生成对抗网络(Generative adversarial networks, GAN)/自监督学习(Self-supervised learning, SSL)是自然语言处理、推荐系统中常见的技术,它们各有特点而又联系密切。
本文将从自然语言处理的背景切入,按照以下逻辑,层层递进,介绍这些方法的实现区别与内在联系:
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负采样(NEG) 是对噪声对比估计(NCE)的近似
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噪声对比估计(NCE)是对极大似然估计(MLE)的近似
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噪声对比估计(NCE)是生成器(generator)固定的生成对抗网络(GAN)
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InfoNCE 的是多分类版本的噪声对比估计(NCE)
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InfoNCE 及其变体是自监督学习(SSL)常用的损失函数
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InfoNCE 实质上是在做自归一重要性采样(SNIS)
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以上模型都属于能量启发模型(EIM),回避对配分函数(partition function)的直接计算
词嵌入(Word embedding)
对于单词或者商品这样的随机变量空间,通常它们的 one-hot 表达都是高度稀疏的。标准的处理方法是使用词嵌入(word embedding)技术。负采样最初是针对词嵌入学习中存在的困难,所发展出的一种构造样本的方法。词嵌入的目标,是学习得到这样一个语义空间:
语义相近的单词,在语义空间中也尽量靠近
具体地,需要将第 个文档中的第 个单词,表示为高维、稀疏的 one-hot 向量 。将其映射到一个低维、稠密的 空间上去。
所谓语义,是由分布假设(distributional hypothesis)所定义的。这个假设是指:具有相似上下文 (context) 的单词,往往具有相似的含义;两个单词的差异程度,大致上对应于在它们环境的差异程度。
隐语义索引(LSI)/ 隐语义分析(LSA)/ 点间互信息(PMI)
隐语义索引(Latent semantic indexing, LSI)是最直接的利用统计特征,建立词嵌入空间的方法。
首先建立矩阵 ,其中矩阵元素 表示第 种「条目(term)」出现在第 种「上下文(context)」的统计次数。条目和上下文的定义都可以按照实际需要,自由定制。如果以「单词」作为「条目」,以「文章」作为「上下文」,则这样的矩阵又叫做词条-文档频率矩阵(term-document frequency matrix)。
词与词直接必然存在千丝万缕的联系,这也意味着词条-文档频率矩阵一定是一个低秩矩阵,通过与推荐系统中完全一样的方法:
https://zhuanlan.zhihu.com/p/408838233
可以求得词条-文档频率矩阵的 K 秩最佳近似:
则有:
其中 为第 个单词的嵌入,而 表示第 个文档的嵌入。利用这些嵌入,可以实现文档检索(document retrieval)。例如每一次查询内容为:
可以直接通过欧式距离,或者余弦相似度来实现对文档的排序:
这种检索方式就被成为隐语义索引。
隐语义分析(Latent semantic analysis, LSA)是隐语义索引的推广。将作为上下文的文档,替换成单词附近的滑窗 ,其余的计算与隐语义索引中的完全相同。
点间互信息(pointwise mutual information, PMI)将隐语义分析中的单纯计数 替换成互信息的形式:
点互信息的核心思想是:
考虑「上下文共现」高于「先验共现」的概率
将 PMI 矩阵中的负值全部置零,就得到 positive PMI (PPMI)模型。然而 PPMI 也具有偏置的问题:对于罕见词的评分非常高。使用拉普拉斯平滑(Laplace smoothing)可以一定程度上缓解这个问题。
词向量(Word2vec)
词向量模型大致分为两种类型:CBOW(continuous bag of words)与 skipgram。Word2vec 有一个很强(但有效)的假设:
所有的上下文都是相互独立的。
CBOW 模型
简而言之,CBOW 模型是从上下文预测中心词:
其中 是整个词库, 是滑窗尺寸, 是中心词, 是上下文:
Skip-gram 模型
Skip-gram 模型是从预测中心词上下文:
则与 CBOW 类似,可以将给定中心词,对应上下文的条件概率为:
负采样(Negative sampling, NEG)
不论是对于 CBOW 还是 Skip-gram 模型,都需要遍历整个词库 ,这种计算代价在实际中是不可承受的。为了节省运算量,加速训练,需要使用负采样方法。结合负采样之后的 Skip-gram 模型称为 SGNS 模型(skip-gram with negative sampling)。
具体来说,对于每个中心词 ,将其上下文的单词中选择 1 个作为正样本;负样本又被称为噪声词(noise words),以 , 的概率从词库中抽取 作为个负样本,这样构造负样本是为了让更多的罕见词获得训练的机会。由此待求条件概率为:
由此只需要用随机梯度下降法,训练一个二分类模型即可:
可以看到,在每一组样本的计算过程中,已经不需要遍历整个词库 。
负采样(NEG) 是对噪声对比估计(NCE)的近似
负采样引入了噪声词,通过训练二分类模型,来避免对整个词库 的反复遍历。然而需要注意的是,当且仅当 ,且噪声词为均一分布时,使用负采样才能得到中心词的似然函数。而按照 SGNS 的设计,负样本窗口必然是远远小于词库尺寸的,这将导致一个严重的缺陷:
由负采样得到的模型只能用于生成词嵌入,而不能生成语言模型
噪声对比估计(Noise Contrastive Estimation, NCE)就是用来解决针对经验概率分布(empirical distribution)的估计问题。NCE 的核心思想是:假设 是采样自未知的经验概率密度函数 。由噪声分布 引入噪声样本 。通过估计 来最终估计出 。
噪声对比估计(NCE)是重要性采样(IS)的特例
同样是将概率估计问题转化为二分类问题,唯一的不同是 NCE 利用了已知的噪声概率分布,来估计未知的经验概率分布。这种思想与重要性采样(Importance Sampling, IS)异曲同工,唯一的不同是 NEG / NCE 是通过逻辑回归(logistic regression)对数据与噪声进行二分类;IS 是通过交叉熵(cross entropy)进行多分类。三者的区别与联系一目了然:
在 NEG 中:
在 NCE 中(约等号是因为配分函数 直接置 1):
在 IS 中:
由此可以得到 NCE 的条件似然函数为:
其中:
从而可以构造出相应的损失函数,最终估计出经验概率密度函数 。
噪声对比估计(NCE)是对极大似然估计(MLE)的近似
与 MLE 一样,可以证明 NCE 满足渐近正态性(asymptotic normality):
而 MLE 还同时满足渐近有效性(asymptotic efficiency):
并以及在此基础上还满足一致性(consistency):
从可以证明当 ,NCE 的 Cramér–Rao bound(CRB)同样收敛至 , 为费雪信息(Fisher information),因此实际应用中 也应选取得尽量大。
上述事实说明,在考虑配分函数(partition function)的情况下,NCE 的方差渐近收敛于 MLE,因而同样满足渐近有效性以及一致性,这也是 NCE 方法之所以成立的重要理论保证。由于配分函数实际上无法计算,在 NCE 公式中直接置为 1,因此是 MLE 的近似结果,这种方法称之为自归一化(self-normalisation)。
对于未知分布的估计问题,是典型的无监督学习(unsupervised learning)任务,而通过 NCE / NEG,用有监督学习(supervised learning)方法实现了这样的目的,从而建立了无监督学习与有监督学习的桥梁,这就是自监督学习(Self-supervised learning, SSL)。
噪声对比估计(NCE)是生成器(generator)固定的生成对抗网络(GAN)
在 NCE 中噪声样本 越接近 ,似然函数越大。当完全相等时,取得最大值。直观上也很容易理解:分布越接近,对于模型的分辨难度越大,从而越能够更好学习到经验分布。
在 TensorFlow 代码中,噪声分布默认使用 Zipfian 分布。因此使用时要按词频进行排序,来获得最佳性能。
到目前为止,噪声分布都由事先指定,而正如前文指出的,由于 NCE 是 MLE 的近似,样本规模的扩大,可以减弱噪声分布偏离带来的不利影响。而近年来风靡一时的生成对抗网络(Generative adversarial networks, GAN),实质上是进一步放松了对噪声分布的限制,而由生成器(generator)来直接生成噪声样本。
InfoNCE 的是多分类版本的噪声对比估计(NCE)
在 NCE 方法中,引入噪声分布,对噪声和正样本通过逻辑回归进行了二分类学习,从而最终得到经验分布。容易想到,可以将 NCE 的考察对象从二分类扩展到多分类;将计算方式由逻辑回归推广到交叉熵:
这种损失函数被称之为 InfoNCE 或 ranking NCE。
当下流行的对比学习(contrastive learning)是自监督学习(Self-supervised learning, SSL)的一种。InfoNCE 及其变体被广泛用于各种对比学习的损失函数中,其中比较著名的模型有如 SimCLR / MoCo / SimCSE 等。
基于能量模型(EBM)与能量启发模型(EIM)
基于能量模型(Energy-based model, EBM)是一种统一的学习框架,用于图模型及其他结构化模型的训练。常见的 EBM 模型有玻尔兹曼机(Boltzmann machines)、条件随机场(conditional random fields)、马尔科夫随机场(Markov random fields)等等。EBM 由于配分函数的计算,使得采样和估计都比较困难。
能量启发模型(Energy-Inspired Models, EIM)则另辟蹊径,通过采样方法,提供容易计算的似然函数的下界(lower bounds),来进行近似。
InfoNCE 实质上是在做自归一重要性采样(SNIS)
基于能量模型 由能量函数 所定义:
其中 为先验分布, 为难以计算的配分函数。通过引入隐变量 和变分分布 ,可以得到:
KL 散度的一项可以放缩丢弃,以 为采样不确定性,则有:
重要性采样(importance sampling, IS)是通过引⼊⼀个辅助的概率密度函数,来减少蒙特卡洛⽅法的⽅差。配分函数未知的情况下,采用自归一重要性采样(Self-Normalized Importance Sampling, SNIS):
由此得到对数似然的下界为:
又由于对互信息有:
将 SNIS 作为变分分布,带入上式,可以得到这样的观点:
InfoNCE 是通过自归一重要性采样,来优化互信息的下界
至此,从能量观点,建立了对从负采样到对比学习的统一认识。
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