斯托克斯公式怎么理解_帕斯卡定律公式

至此，我们已经学习了第二型曲线积分和第二型曲面积分，主要学习了它们的计算方法：将第二型曲线积分转化为了一个定积分或者二重积分（格林公式），将第二型曲面积分转化为了一个二重积分或者三重积分（高斯公式）。而接下来的斯托克斯公式，将第二型曲线积分和第二型曲面积分联系在了一起，值得深入探讨。

主要内容：

一、斯托克斯公式

对向量函数（向量场）的记法，以下两种形式等价：

$\mathbf{F(M)} = \left \{ P(x, y, z) , Q(x, y, z), R(x, y, z) \right \}\\ \mathbf{F(M) }= P(x, y, z)\mathbf{ i }+ Q(x, y, z) \mathbf{j }+ R(x, y, z) \mathbf{k}$

关于dS的记法

一、斯托克斯公式

定理的内容与理解

从形式上看，斯托克斯公式与格林公式有相似之处。实际上，斯托克斯公式是格林公式在空间上的推广，可以计算空间上的第二型曲线积分（格林公式计算的是平面上的第二型曲线积分）。

利用第二型曲线积分和第一型曲面积分的关系，还可以继续转化，即有

$\oint P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz =\\ \iint_{\sum }^{}[(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\cos\alpha + (\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\cos\beta + (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\cos\gamma ]dS$

其中三个余弦为 $\sum$ 指定一侧的法向量的方向余弦。

使用斯托克斯公式，一般只要求会用就行，对公式条件的考查并不多，着重需要

记准公式，P Q R；
明确转化后的曲面的方向（右手螺旋法则）

公式的记忆

知识点8：用斯托克斯公式解题

要点1：一般来说，用斯托克斯公式都是从左往右使用，即用来计算空间上的第二型曲线积分（此时格林公式一定失效）；之所以说斯托克斯公式用起来比较复杂，除了公式本身相对于格林公式和高斯公式形式上就不简单之外，还在于转化后的第二型曲面积分还需要我们进一步转化计算，即普遍存在这样的一道流程：

空间上的第二型曲线积分 ==> 第二型曲面积分 ==> 二重积分

要点2：虽然空间上的第二型曲线积分不能使用格林公式，但是最基本的求参数方程转化为定积分的方法依然是可以使用的，也就是说空间上的第二型曲线积分的计算，要么用参数方程转化为定积分的计算，要么使用斯托克斯公式。

要点3：注意斯托克斯公式的第二种形式（相当于将第二型曲线积分转化为了第一型曲面积分计算），当转化后的曲面是一个平面（平面具有一个很好的特点，就是它的某一个方向的法向量是不会变化的，即公式中的三个方向余弦为常数）时，我们需要留意能不能转化为第一型曲面积分，以简化运算。

例

解：

这种形式（球面和柱面，均为二次方程）不好求参数方程了，只能使用斯托克斯公式。

转化为第二型曲面积分，要明确曲面和曲面的方向

显然在xOy平面上的投影是一个圆面，统一投影计算，将z化为只含有x、y的单值函数，并且求偏导数后代入被积表达式。

此时得到就是二重积分，注意二重积分有对称性，必要时可以极大地简化运算。

例

解：

注意到有圆柱面和平面（一次关系），我们可以求出参数方程，代入转化为定积分计算（很多三角运算，虽然繁琐但是可以算下去）

空间第二型曲线积分，使用斯托克斯公式，

此时得到的就是一个第二型曲面积分。

曲面在xOy面上的投影很明显就是一个圆面，采用统一投影计算，需要写出z关于x、y的单值函数，套用公式即可（方向向上，不需要加负号）

我们可以发现，转化后的第二型曲面积分的被积表达式很简洁，都是常数-2，而刚好这个积分曲面时一个平面（呈椭圆形状的平面），平面中任意一点处的某一方向上的法向量都相同，也就是法向量的三个方向余弦时确定的常数，故可以转化为第一型曲面积分，计算面积即可。

斯托克斯公式怎么理解_帕斯卡定律公式 — 注意求得到法向量方向必须向上（因为之前的二型曲面积分求的是曲面上侧）

接下来就是求平面的面积，需要用到投影面积关系。

实现部分为真实图形，虚线部分为投影，两者面积有如下关系：

空间上的积分与路径无关

例

空间上的积分与路径无关与平面上的如出一辙，只不过我们需要计算三个偏导数是否相等（斯托克斯公式右侧）

二、向量场中的向量算子

这是之前学过的梯度。梯度可以简记为数量函数关于每一个变量的偏导数构成的向量。

（一）格林公式中的环量与旋度

环量

显然，环量实际上是第二型曲线积分，回忆我们使用格林公式将其转化为了一个二重积分 $(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy$ , 那么两者相等， $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ 也是有意义的。