方阵的行列式和其伴随矩阵行列式的关系_伴随矩阵的逆矩阵怎么求[通俗易懂]

方阵的行列式

• 由n阶方阵A的元素所构成的行列式，称为方阵A的行列式，记作|A|。

性质

• |A^T| = |A|
• |λA| = λⁿ|A|
• |AB| = |A| |B|

伴随矩阵

• 行列式|A|的各个元素的代数余子式A_ij所构成的如下矩阵
  $$A^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]$$
  称为矩阵A的伴随矩阵。

性质

• AA^* = A^*A = |A|E
  证明：$$A{A}^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}|A|& & & \\ & |A|& & \\ & & \ddots & \\ & & & |A|\end{array}\right]=|A|E$$

逆矩阵

• 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB = BA = E，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。
• 如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是惟一的
• A的逆矩阵记作A^-1
• 定理1：若矩阵A可逆，则|A| ≠ 0
  证明：AA^-1 = E，|A| |A^-1| = |E| = 1，故|A| ≠ 0
• $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$
• 定理2：若|A| ≠ 0，则矩阵A可逆，且$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$
  证明：AA^* = A^*A = |A|E，$A\frac{A^{\ast }}{|A|}=\frac{A^{\ast }}{|A|}A=E$，故A可逆，且$A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}$
• |A| = 0，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵
• 推论：若AB = E（或BA = E），则B = A^-1

性质

• 若A可逆，则A^-1亦可逆，且(A^-1)^-1 = A
• 若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且$(\lambda A{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }{A}^{-1}$
• 若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且 (AB)^-1 = B^-1A^-1
  证明：(AB)(B^-1A^-1) = A(BB^-1)A^-1 = AEA^-1 = AA^-1 = E
• 若A可逆，则A^T亦可逆，且(A^T)^-1 = (A^-1)^T
  证明：A^T(A^-1)^T = (A^-1A)^T = E^T = E
• 若A可逆，A⁰ = E，A^-k = (A^-1)^k，A^λA^μ = A^λ+μ，(A^λ)^μ = A^λμ
• 【例】求$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$的逆矩阵。
  解：|A| = ad – bc，$A^{\ast }=\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$，$A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$（记住结论）
• 【例】$设P=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 4\end{array}\right]，\Lambda =\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right],AP=P\Lambda ,求A^n.$
  解：APP^-1 = PΛP^-1，A = PΛP^-1，A² = PΛP^-1PΛP^-1 = PΛ²P^-1，Aⁿ = PΛⁿP^-1，${\Lambda }^n=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^n\end{array}\right]$（记住结论），
  $A^n=P{\Lambda }^n{P}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^n\end{array}\right]\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}4& -2\\ -1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2-2^n& 2^n-1\\ 2-2^{n+1}& 2^{n+1}-1\end{array}\right]$

Numpy中逆矩阵的函数

import numpy as np

m = np.mat([[1, 2],
            [3, 4]])
print(m.I)
print(np.linalg.inv(m))  # 对应于MATLAB中 inv() 函数

[[-2.   1. ]
 [ 1.5 -0.5]]
[[-2.   1. ]
 [ 1.5 -0.5]]

• 伪逆矩阵：也称广义逆矩阵

import numpy as np

m = np.mat([[1, 2],    # 奇异矩阵
            [2, 4]])
print(np.linalg.pinv(m))  # 对应于MATLAB中 pinv() 函数

[[0.04 0.08]
 [0.08 0.16]]

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