线性代数线性方程组什么时候无解_线性方程组什么情况下无解

线性方程组什么时候无解？多个解？有唯一解？

一。非齐次线性方程组，无解，多解，唯一解

非齐次线性方程组，就是方程组的等式右边不为0的方程组，系数加上方程等式右边的矩阵，叫做增广矩阵

【例1】求解下列线性方程组

${\color{Red}{化简后的有效方程组个数小于未知数个数，有多个解}}$。

$$\begin{cases} \text{ } 2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=2 \\ \text{ } x_{1}-2x_{2}+2x_{3}=4 \\ \text{ } 3x_{1}+x_{2}+3x_{3}=6 \\ \text{ } \\\end{cases}$$

第一步，先列出增广矩阵，

$$\begin{pmatrix} 2& 3& 1& | 2 \\ 1& -2& 2&|4 \\ 3& 1& 3& |6 \\ \\\end{pmatrix}$$

第二步，用高斯消元法化简，化简成阶梯矩阵
先把第2行换到第1行

$$\begin{pmatrix} 1& -2& 2&|4 \\ 2& 3& 1& | 2 \\ 3& 1& 3& |6\\ \\\end{pmatrix}$$

，第2行减第1行的2倍，第3行减第1行的3倍，得到

$$\begin{pmatrix} 1& -2& 2&|4 \\ 0& 7& -3& | -6 \\ 0& 7& -3& |-6\\ \\\end{pmatrix}$$

，第3行减第2行，得到

$$\begin{pmatrix} 1& -2& 2&|4 \\ 0& 7& -3& | -6 \\ 0& 0& 0& |0\\ \\\end{pmatrix}$$

，化简后的方程组，等于

$$\begin{cases} & \text{ } 2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=2 \\ & \text{ }7x_{2}-3x_{3}=6 \\ & \text{ } 0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}=0 \\ & \text{ } \\\end{cases}$$

这样，$x_{2}$可以通过$x_{3}$来表示，$x_{1}$也可以通过$x_{3}$来表示，这样$x_{3}$就叫做自由变量，$x_{3}$可以取任意值。所以$x_{1},x_{2},x_{3}$就有无穷多个解。

可见，化简后的有效方程组个数，小于未知数个数。
有效方程组个数=2，未知数个数=3

${\color{Red}{化简后的有效方程组个数，小于未知数个数。 这样的方程组有无穷多个解}}$。

【例2】求解下列线性方程组

${\color{Red}{化简后的有效方程组出现(0=d)型式不兼容方程，则无解}}$。

$$\begin{cases} & \text{ } x_{1}-7x_{2}+6x_{3}=2 \\ & \text{ } 2x_{1}+3x_{2}-8x_{3}=3 \\ & \text{ } x_{1}+10x_{2}-14x_{3}=6 \\ & \text{ }\\\end{cases}$$

第一步，先列出增广矩阵，

$$\begin{pmatrix} 1& -7& 6& | 2 \\ 2& 3& -8&|3 \\ 1& 10& -14& |6 \\ \\\end{pmatrix}$$

第二步，用高斯消元法化简，化简成阶梯矩阵
第2行减去第1行*2，第3行减去第2行

$$\begin{pmatrix} 1& -7& 6& | 2 \\ 0& 17& -20&|-1 \\ 0& 0& 0& |5 \\ \\\end{pmatrix}$$

导出最后一个方程：
$0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}=5$
这个方程是不可能成立的，所以原线性方程组无解。
这种形式的方程叫做 {0=d} 方程，其中d是非零数，这种叫做不相容方程，也是自相矛盾的方程。
{0=d} 方程是一种自相矛盾的方程，左边全是0，右边是一个非零，这是自相矛盾的，是不相容的，所以无解。
${\color{Red}{化简后导出(0=d)形式的方程，方程组无解}}$

判断有解无解总结：
对于 Ax=b方程组
通过高斯消元法，化简，化成阶梯行方程组
1）先看看是否出现{0=d}形式的不相容方程，如果出现，无解
2）有解的情况下，再看看有效方程个数是否小于未知数个数，如果是，则有无穷多个解。如果正好相等，则有唯一解。

二。齐次线性方程组，非零解，零解

齐次线性方程组，就是方程组的等式右边全部是0的方程组，只有系数矩阵，不需要增广矩阵，所以不会出现{0=d}形式的不相容方程。所以不会出现无解的情况，只需要考虑是多个解，还是唯一解。

对于齐次线性方程组，有${\color{Red}{多个解叫做有非零解}}。{\color{Red}{唯一解叫做零解}。}$

对于Ax=0的齐次线性方程组，列出其系数矩阵（不需要增广矩阵），使用高斯消元法化简，化为阶梯形矩阵，化简后，判断有效方程组个数是否小于未知数个数，
${\color{Red}{如果有效方程组个数小于未知数个数，叫做有非零解（多个解）}}$
${\color{Red}{如果等于，叫做只有零解（唯一解）}}$

三。什么是矩阵的秩（$zh\grave{i}$），什么是detA?

${\color{Red}{**detA**就是矩阵A的行列式的值}}$
什么叫做矩阵的秩？
将矩阵用高斯消元法化简后，非零行的行数叫做行秩，非零列的列数叫做列秩。
${\color{Red}{矩阵的秩是方阵经过初等变换后的非零行行数或非零列列数}}$。
可以将矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是极大无关组中所含向量的个数。

定义：${\color{Red}{ A=\{ a_{ij} \} m\times n 的不为零的子式得最大阶数称为矩阵A的秩}}$。
记做${\color{Red}{rA}}$，或者${\color{Red}{rankA}}$
特别规定零矩阵的秩就是零。
若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r< min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，
通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵，满秩矩阵$detA\neq 0$
不满秩矩阵就是奇异矩阵，奇异矩阵$detA= 0$
由行列式性质知道，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

四。通过矩阵的秩（$zh\grave{i}$）来判断线性方程组无解，有多个解，唯一解的问题

线性方程组什么时候无解，有多个解，唯一解？

1.对于非齐次线性方程组，用矩阵的秩r(A)来判断

对线性方程组进行初等变换（高斯消元法），化为最简型（阶梯形）矩阵，

考查系数矩阵r(A)，增广矩阵r(A,b)，以及方程组未知数个数n
如果系数矩阵的秩r(A)小于增广矩阵的秩r(A,b)，${\color{Red}{r(A)<r(A,b)，那么方程组无解}}$；
如果系统矩阵的秩小于方程组未知数个数，${\color{Red}{r(A)=r(A,b) <n ，那么方程组有多个解}}$。
如果系统矩阵的秩等于方程组未知数个数，${\color{Red}{r(A)=r(A,b) =n ，那么方程组有唯一解}}$。

2.对于齐次线性方程组，用行列式的值 detA来判断。

不存在无解的情况
判断detA，${\color{Red}{如果detA==0，则有非零解（无穷多个解）}}$
判断detA，${\color{Red}{如果detA\neq0，则只有零解（只有唯一解）}}$

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