组合数加法性质_概率的加法原则和乘法原则的区别[通俗易懂]

1. 加法原则

( 1 ) 加法原则 ( 不能叠加 的事件才能用 加法原则 | 适用于 分类选取 )

加法原则 :

• 1.加法法则描述 : 事件 $A$ 有 $m$ 种 产生方式 , 事件 $B$ 有 $n$ 种 产生方式 , 则 ” 事件 $A$ 或 $B$ ” 有 $m+n$ 种产生方式 ;
• 1.加法法则推广 : 设 事件 $A_1,A_2,...,A_n$ 分别有 $p_1,p_2,...,p_n$ 种 产生方式 , 若 其中 任何 两个 事件 产生的方式 都 不重叠 , 则 ” 事件 $A_1$ 或 $A_2$ 或 … 或 $A_n$ ” 产生的方式 是 $p_1+p_2+...+p_n$ 种 ;
• 2.注意点 : 这里的 事件 $A_1,A_2,...,A_n$ 必须是 不能重叠的 , 即 只有 一件 事件 发生 , 如果有多个 事件 同时发生 , 就必须 使用 乘法原则 ;
• 3.适用问题 : 分类选取 ;

( 2 ) 乘法法则 ( 相互独立 的 事件 才能用 乘法法则 | 适用于 分步选择 )

乘法原则 :

• 1.乘法法则描述 : 事件 A 有 m 种 产生方式 , 事件 B 有 n 种 产生方式 , 则 ” 事件 A 与 B ” 有 mn 种产生方式 ;
• 1.乘法法则推广 : 设 事件 $A_1,A_2,...,A_n$ 分别有 $p_1,p_2,...,p_n$ 种 产生方式 , 若 其中 任何 两个 事件 产生的方式 都 相互独立 , 则 ” 事件 $A_1$ 或 $A_2$ 或 … 或 $A_n$ ” 产生的方式 是 $p_1{p}_2...p_n$ 种 ;
• 2.注意点 : 这里的 事件 $A_1,A_2,...,A_n$ 必须是 相互独立 的 ;
• 3.适用问题 : 分步选取 ;

2. 习题解析

( 1 ) 习题 1 ( 加法原理 )

题目 :

汽车市场 有 卡车 15 辆 , 面包车 8 辆 , 轿车 20 辆 ;
从市场中只购买一辆车 , 有多少种购买方式 ?

解答 :

① 这里用到了 加法原则 , 如果只能 买 一辆车的话 , 三种车 只能买一种 , 三个事件 是不能重叠的 ;

② 买卡车 有 15 种方式 , 买面包车 有 8 种方式 , 买轿车 有 20 种 , 三种方式只能选择一种 , 三者不能重叠 ( 同时存在 ) , 因此使用加法原则 进行计算 ;

③ 结果是 : 15 + 8 + 20 = 43 ;

( 2 ) 习题 2 ( 加法原则 乘法原则 综合运用 )

设 $A,B,C$ 是 3 个城市 ,
从 $A$ 到 $B$ 有 3 条路 , 从 $B$ 到 $C$ 有 2 条路 , 从 $A$ 到 $C$ 有 $4$ 条路 ,
问 从 $A$ 到 $C$ 有多少种不同的方式 ?

解 :

加法原则 :
① 直接从 $A$ 到 $C$ 与 ② 从 $A$ 先到 $B$ 再到 $C$ 是 不能重叠的 , 方案 ① 与 方案 ② 需要 用家法原则 ,

乘法原则 :
方案 ② 内部需要使用 乘法原则 即 $A$ 到 $B$ 有 3 种 选择 , $B$ 到 $C$ 有 2 种选择 , 这两个选择是相互独立的 , 需要分步 选择 , $3\ast 2=6$ 种 ;

最终 $N=3\times 2+4=10$ ;

( 3 ) 习题 3 ( 乘法原则 )

题目 :

从 $1000$ 到 $9999$ 的 整数 中 :

① 含有5的数有多少个 ;
② 含有多少个 百位 和 十位数 均为 奇数 的 偶数 ;
③ 各位数 都不相同 的 奇数 有多少个;

解答 :

( 1 ) 含有 5 的数 的个数 :

① 设 数字 集合 { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} {
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

② 直接求 含有 $5$ 的数 , 比较麻烦 : 这里可以分成 $1$ 位 含有 $5$ 的数 , 此时又分成 个位 十位 百位 千位 四种情况 , $2$ 位 或 $3$ 位 含有 $5$ 更加复杂 ;

③ 这里 可以 转换一下思路 , 求 不含 5 的个数 :

• 1> 千位 : 千位数 不能 取 $0$ 和 $5$ , 只能取值 $8$ 种情况 ;
• 2> 百位 : 百位数 不能 取 $5$ , 有 $9$ 种 取值情况 ;
• 3> 十位 : 百位数 不能 取 $5$ , 有 $9$ 种 取值情况 ;
• 4> 个位 : 百位数 不能 取 $5$ , 有 $9$ 种 取值情况 ;

根据乘法原则 : 不含 $5$ 的个数位为 $8\times 9\times 9\times 9=5832$
含有 5 的个数为 : $9000-5832=3168$ ;

( 2 ) 百位 和 十位数 均为 奇数 的 偶数 :

分析 四位 数 取值方案数 :

• 1> 个位数取值方案数 : 考虑偶数的情况 : 如果为 偶数 , 那么 个位数 只能取值 { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 } \{0, 2, 4 , 6, 8\} {
  0,2,4,6,8} 这 $5$ 种情况 ;
• 2> 十位数 和 百位数 取值 方案数 : 十位数 百位数 都是 奇数 , 那么 其 取值 { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } \{1 , 3 , 5 , 7 , 9 \} {
  1,3,5,7,9} , 也是 $5$ 种方案 ;
• 3> 千位数 取值 方案数 : { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \{1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} {
  1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 有 $9$ 种方案 ;

根据 乘法 原则 : 百位 和 十位 均为 奇数 的 偶数 有 $9\times 5\times 5\times 5=1125$ 个 ;

( 3 ) 各位数 都不相同 的 奇数 个数 :

逐位分析 :

• 1> 分析 个位数 取值 : 个位数 如果不做限制的话 , 有 $10$ 种方案数 { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} {
  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 要求 是 奇数 , 因此 个位数 只有 $5$ 中方案 , 只能从 { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } \{1,3,5,7,9\} {
  1,3,5,7,9} 中取值 ;
• 2> 分析 千位 的取值 : 千位数 不做限制的话 有 $9$ 种方案 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9\} {
  1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 如果要求 与 个位数不同 , 那么有 $8$ 种方案 ;
• 3> 分析 百位 数取值 : 百位数 如果不做限制的话 , 有 $10$ 种方案数 { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} {
  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 千位 与 个位 各自 取了 一位数 , 那么只能下 $8$ 种 方案数 ;
• 4> 分析 十位 数取值 : 十位数 如果不做限制的话 , 有 $10$ 种方案数 { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} {
  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 千位 , 个位 与 百位 各自 取了 一位数 , 那么只能下 $7$ 种 方案数 ;

根据乘法原则 : $1000$ 到 $9999$ 的整数中 , 各个位数 都 不相同的 奇数 有 $5\times 8\times 7\times 7=2240$ 个 ;

每一位分析的先后顺序很有讲究 , 一般先分析 条件限制比较苛刻的 选择 , 在分析 比较宽松的选择 ;

关于一一对应 的说明 :
如果 性质 $A$ 的 计数 比较困难 , 性质 $B$ 的计数比较容易 , 性质 $A$ 和 性质 $B$ 存在一一对应 , 那么对性质 $A$ 的计数 , 可以转化为 对 性质 $B$ 的计数 ;
这里用到了 一一对应 , 如 上述 , 计数 含有 $5$ 的整数个数 , 如果正面计数比较困难 , 可以反过来 计算 不含有 $5$ 的整数个数 , 这样就比较好计数了 , $1000$ 到 $9999$ 一共有 $9000$ 个数 , $9000-不含5的整数个数$ 与 含有 $5$ 的整数个数 是一一对应的 ;

常用的一一对应 :
① 选取问题
② 不定方程非负整数解问题
③ 非降路径问题
④ 正整数拆分问题
⑤ 放球问题

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