泰勒公式经典例题讲解_8个常用泰勒公式展开「建议收藏」

编程小号 • 2024-05-02 10:30 • 未分类

泰勒公式经典例题讲解_8个常用泰勒公式展开「建议收藏」泰勒公式及其证明过程两种类型的余项麦克劳林公式泰勒公式常见题型用泰勒公式展开函数用泰勒公式求极限用泰勒公式讨论无穷小的比较用泰勒公式证明等式和不等式_泰勒中值定理公式应用

目录

一、简介

1.泰勒公式及其证明过程

2.两种类型的余项

3.麦克劳林公式

二、泰勒公式常见题型

1.用泰勒公式展开函数

2.用泰勒公式求极限

3.用泰勒公式讨论无穷小的比较

4.用泰勒公式证明等式和不等式

一、简介

1.泰勒公式及其证明过程

泰勒中值定理1：若f(x)在含有 $x_{0}$ 的某个邻域内具有n阶倒数，则对于该邻域内任一点x,(x趋近于 $x_{0}$ )则有： $f(x)=f(x_{0})+\frac{f(x_{0}){}'}{1!}\cdot (x-x_{0})+\frac{f(x_{0}){}''}{2!}\cdot (x-x_{0})^{2}+......+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}\cdot (x-x_{0})^{n}+R_{n}(x)$

其中 $R_{n}(x)$ 为余项,根据需要选择使用佩亚诺型还是拉格朗日型，具体见后文（两种类型的余项）

证明：

$\because \Delta y\approx f(x){}'\Delta x,\therefore f(x)-f(x_{0})=f(x_{0}){}'(x-x_{0})$

$\therefore f(x)\approx f(x_{0})+f(x_{0}){}'(x-x_{0})$ 一次表达式

令 $f(x)=p_{n}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+......+a_{n}(x-x_{0})^{n}$

当 $x=x_{0},a_{0}=f(x_{0})$ ;

$a_{1}=f(x_{0}){}'$ , $2!a_{2}=f(x_{0}){}''$ …… $n!a_{n}=f^{(n)}(x_{0})$ 先求导再代入 $x=x_{0}$

则 $a_{1}=f(x_{0})$ , $a_{2}=\frac{f(x_{0}){}''}{2!}$ …… $a_{n}=\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}$ 即证。

2.两种类型的余项

1.佩亚诺型余项 $R_{n}=\circ ((x-x_{0})^{n})$ 取前一项的自变量 $(x-x_{0})^{n}$

若你所写的泰勒公式只有三项，则 $R_{n}=(x-x_{0})^{2}$ ,取四项则 $R_{n}=(x-x_{0})^{3}$ ，其他同理

2.拉格朗日型余项

泰勒中值定理2：若f(x)在含有 $x_{0}$ 的某个邻域内具有n+1阶导数，则对于该邻域内任一点x,(x趋近于 $x_{0}$ ),则有 $R_{n}=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$ ,此式子即为拉格朗日型余项

$\because n=0$ 时 $f(x)=f{}'(\xi )(x-x_{0})+f(x_{0})$ 即 $f{}'(\xi )=\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ 为拉格朗日中值定理

3.麦克劳林公式

当泰勒公式中 $x_{0}=0$ 时即为麦克劳林公式： $f(x)=f(0)+\frac{f(0){}'}{1!}x+\frac{f(0){}''}{2!}x^{2}+......+\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}$ $(0<\theta <1)$

注意：麦克劳林公式的使用条件：因为x趋近于 $x_{0}$ ，而此时 $x_{0}=0$ ，所以x也趋近于零

二、泰勒公式常见题型( $x_{0}$ 的选取很关键)

1.用泰勒公式展开函数

方法：对原函数多求几次导，找到规律，写出有规律的式子
例子：求函数f(x)=lnx按(x-2)展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式

解：令 $x_{0}=2$ , $f(2)=ln^{2}$ 对f(x)多次求导，又对 $ln^{x}$ 不断求导找出规律

$(ln^{x}){}'=\frac{1}{x}$ $(ln^{x}){}''=-\frac{1}{x^{2}}$ $(ln^{x}){}'''=\frac{2!}{x^{3}}$ ……

$\therefore f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}}$ ,将x=2带入式子，然后写出泰勒展开式

$ln^{x}=f(2)+\frac{f(2){}'}{1!}\cdot (x-2)+\frac{f(2){}''}{2!}\cdot (x-2)^{2}+......+\frac{f^{(n)}(2)}{n!}\cdot (x-2)^{n}+\circ ((x-2)^{n})$

$=ln^{2}+\frac{1}{2^{1}}(x-2)-\frac{1}{2!\cdot 2^{2}}(x-2)^{2}+\frac{1}{3!\cdot 2^{3}}(x-2)^{3}......+\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!\cdot 2^{n}}(x-2)^{n}+\circ ((x-2)^{n})$

$=ln^{2}+\frac{1}{2^{1}}(x-2)-\frac{1}{2!\cdot 2^{2}}(x-2)^{2}+\frac{1}{3!\cdot 2^{3}}(x-2)^{3}......+\frac{(-1)^{n-1}}{n\cdot 2^{n}}(x-2)^{n}+\circ ((x-2)^{n})$

2.用泰勒公式求极限

方法：1.先观察式子中有无可替换的等价无穷小

2.再观察分子分母中哪些式子需要用泰勒展开

3.展开时泰勒公式中 $x^{n}$ 与原式中本身次方最大的 $x^{m}$ 的关系为n<=m

4.注意可以转换的式子如 $(1+1/x)^{x}=e^{xln^{(1+1/x)}}$ ,再对用泰勒公式展开

5.展开时注意是否可以自变量整体代换如，我们知道常用的的泰勒展开式，可以直接用1/x替换x，前提是用来替换的式子必须趋近于零 $(x\rightarrow x_{0},x_{0}=0)$

例题1：求极限 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-e^-{\frac{x^{2}}{2}}}{x^{4}}$ (提示:对cosx泰勒展开，对 $e^-{\frac{x^{2}}{2}}$ ，由常见 $e^{x}$ 泰勒展开，用 $-{\frac{x^{2}}{2}}$ 整体代换 $e^{x}$ 展开式中的x，两项展开式中x最大次方应该 <=4，最后答案为 $-\frac{1}{12}$ )
例题2：求极限 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{xln^{(1+x)}}{e^{x}-x-1}$ (提示：使用等价无穷小的替换，再对 $e^{x}$ 用泰勒展开，最后答案为2）
例题3：求极限 $\lim_{x\rightarrow +\infty }{\frac{e}{2}}x+x^{2}[ (1+\frac{1}{x})^{x}-e]$

解：由泰勒公式 $(1+\frac{1}{x})^{x}=e^{xln^{(1+\frac{1}{x})}}=e^{x[\frac{1}{x}-{\frac{1}{2x^{2}}}+\frac{1}{3x^{3}}+\circ (\frac{1}{x^{3}})]}=e^{1-\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x^{2}}+\circ (\frac{1}{x^{2}})}$ 对转换后的式子提出一个e，得到 $e\cdot e^{[-\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x^{2}}+\circ (\frac{1}{x^{2}})]}$ ，此时对 $e^{[-\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x^{2}}+\circ (\frac{1}{x^{2}})]}$ 用麦克劳林展开，将 $[-\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x^{2}}+\circ (\frac{1}{x^{2}})]$ 整体看做x代入 $e^{x}$ 的麦克劳林公式，后续步骤比较简单，这里不给出解答了，最后答案等于 $\frac{11}{24}e$

（为什么上一步展开到 $e^{1-\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x^{2}}+\circ (\frac{1}{x^{2}})}$ 时不能用整体代入而要先提一个e出来呢？，因为x趋近于无穷，原来的次方 ${1-\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x^{2}}+\circ (\frac{1}{x^{2}})}$ 是趋近于1的，而不符合麦克劳林的展开条件x趋近于0，当提出e时，后式就可以直接整体代入，用麦克劳林公式展开）

3.用泰勒公式讨论无穷小的比较

方法：统一单位，赋值
例题：设 $x\rightarrow 0$ 时， $e^{x}-(ax^{2}+bx+1)$ 是比 $x^{2}$ 高阶的无穷小，求a和b的值（提示：由题 $\frac{e^{x}-(ax^{2}+bx+1)}{x^{2}}=0$ ,对 $e^{x}$ 泰勒展开至式子中出现 $x^{2}$ ，再对分母合并同类项，整体等于0，即可求出a、b）

4.用泰勒公式证明等式和不等式（重难点）

方法：注意 $x_{0}$ 的选取

1.若只需要证明的结果中不含一阶导数时，可考虑选取题目已知的一阶导数的点或隐含为一阶导数已知的点

2.积分不等式还可考虑选取 $\frac{a+b}{2}$ ,因为 $\int_{b}^{a}f(x_{0})(x-\frac{a+b}{2})$ 积分后可把含 $f{}'(x_{0})$ 消去

例题1：试证明：若f(x)在[a,b]上存在二阶导数，且,则存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $|f{}''(\xi )| title=$ =\frac{4}{(b-a)^{2}}|f(a)-f(b)|”>(想办法用给出的条件构造该函数，选取题目已知的一阶导数的点a，b为分别为 $x_{0}$ )

证明：将 $f(\frac{a+b}{2})$ 分别在点a，点b泰勒展开得

$f(\frac{a+b}{2})=f(a)+\frac{f{}''(\xi _{1})}{2}(\frac{b-a}{2})^{2}$ $\xi _{1}\in (a,\frac{a+b}{2})$

$f(\frac{a+b}{2})=f(b)+\frac{f{}''(\xi _{2})}{2}(\frac{b-a}{2})^{2}$ $\xi _{2}\in (\frac{a+b}{2},a)$

令 $|f{}''(\xi )|=max\left \{|f{}''(\xi _{1})|,|f{}''(\xi _{2})| \right \}$ ,则以上两式相减得

$|f(b)-f(a)|=|\frac{f{}''(\xi _{1})}{2}-\frac{f{}''(\xi _{2})}{2}|\cdot \frac{(b-a)^{2}}{4}\leq |f(\xi )|\frac{(b-a)^{2}}{4}$ ,即证

例题2：设f(x)在[0,1]上二阶可倒，f(0)=f(1)=0,f(x)在[0,1]上的最小值等于-1，试证明至少存在一点 $\xi \in (0,1)$ 使 $f{}''(\xi )\geq 8$

证明：由题设存在 $a\in (0,1)$ ,使f(a)=-1,,对f(x)在a点泰勒展开（即取 $x_{0}$ =a），有

$f(x)=f(a)+f{}'(a)(x-a)+\frac{f{}''(\xi )}{2!}(x-a)^{2}=-1+\frac{f{}''(\xi )}{2}(x-a)^{2}$

将x=0，x=1代入上式有

$0=-1+\frac{f{}''(\xi _{1})}{2}a^{2}$ $\xi _{1}\in (0,a)$

$0=-1+\frac{f{}''(\xi _{2})}{2}(1-a)^{2}$ $\xi _{2}\in (a,1)$

若0<a<1/2,由上式得 $f{}''(\xi _{1}) title=$ 8″>, 若1/2<=a<1,由下式得 $f{}''(\xi _{2})\geq 8$ ，故结论成立

ps：1.想要熟练地掌握泰勒公式并对其加以使用需要琢磨清楚泰勒公式，自己找更多的题练习

2.上述例题摘自《吉米多维奇高等数学练习题》

今天的文章泰勒公式经典例题讲解_8个常用泰勒公式展开「建议收藏」分享到此就结束了，感谢您的阅读。

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