测度论与概率论基础学习笔记8——3.2积分的性质

积分的性质之前也多少介绍过一些，这篇主要写Lebesgue控制收敛定理。为了证明此定理，引入Levi定理和Fatou引理。

Levi引理
设 { f n } \{f_n\} {
fn​}和$f$均是a.e.的非负可测函数，如果$f_n\uparrow fa.e.$(不减收敛至$f$)，则
$${\int }_X{f}_{n}d\mu \uparrow {\int }_{X}fd\mu$$
证略。

Fatou引理
下极限的积分小于等于积分的下极限。具体地：
对任何非负可测函数序列 { f n } \{f_n\} {
fn​}，有
$${\int }_X\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_{n}d\mu \le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{\int }_X{f}_{n}d\mu$$

证：作辅助函数$g_k={\inf }_{n\ge k}{f}_n$，显然$g_n\uparrow \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_n$，由Levi引理即得。

Fatou引理之推论

• 推论1.若存在可积函数$g$使得$\forall n:f_n\ge g$,则$\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_n$积分存在且满足Fatou引理。
• 上极限的积分大于等于积分的上极限。

Lebesgue控制收敛定理
我的理解：Lebesgue控制收敛定理就是描述了积分和极限可交换位置的一个条件。其实交换位置这种事情，在工科里好像根本没人在意哈哈。

设 { f n } \{f_n\} {
fn​}和$f$均是非负可测函数，若存在非负可积函数$g$使得$\forall n:f_n\le ga.e.$,则$f_n\stackrel{a.e.}{\to }f$或$f_n\stackrel{u.}{\to }f$蕴含：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{f}_{n}d\mu ={\int }_{X}fd\mu$$

证明：
既然$f_n\stackrel{a.e.}{\to }f$，则上极限与下极限相同，再根据Fauto引理，有：

对于$f_n\stackrel{u.}{\to }f$的情况，由于按测度收敛时必有子列几乎一致收敛，即得。

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