向量的方向余弦是什么_方向余弦和方向向量的关系[通俗易懂]

abstract

• 向量的方向角和方向余弦@向量间夹角余弦@投影和向量分量

讨论对象

• $\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)$;$\mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z)$

方向角@方向余弦👺

• 设向量$\mathbf{a}\ne 0$,$\mathbf{a}$和$x,y,z$轴的正方向的夹角(称为方向角)分别为$\alpha ,\beta ,\gamma$,则称$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$为向量$\mathbf{a}$的方向余弦
• 一个向量的方向由方向余弦决定

方向余弦公式

• 设向量$\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)$
  • $\cos \alpha =\frac{a_x}{|a|}$
  • $\cos \beta =\frac{a_y}{|a|}$
  • $\cos \gamma =\frac{a_z}{|a|}$

方向余弦间的关系

• $|\mathbf{a}{|}^2=a_x^2+a_y^2+a_z^2$,容易看出${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$

• $\mathbf{a}$ 的单位方向向量${\mathbf{a}}^0=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$

方向余弦和向量的关系

• 一个向量可以由其方向(单位向量)和模共同确定:$\mathbf{a}=|\mathbf{a}|{\mathbf{a}}^0$
  • $\mathbf{a}=|\mathbf{a}|(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$

向量间夹角余弦公式

• $\cos \theta$=$\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|a||b|}$=$\frac{a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z}{\sqrt{|a_x{|}^2+|a_y{|}^2+|a_z{|}^2}\sqrt{|b_x{|}^2+|b_y{|}^2+|b_z{|}^2}}$,其中$\theta$=$<\mathbf{a},\mathbf{b}>$为两向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$的夹角
• 容易验证,$\cos \theta$=$\cos {\alpha }_1\cos {\alpha }_2$+$\cos {\beta }_1\cos {\beta }_2$+$\cos {\gamma }_1\cos {\gamma }_2$

例

• 假设$A$位于空间直角坐标系的第$1$卦限,向径$\overrightarrow{OA}$与$x$轴,$y$轴的夹角依次为$\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{4}$,$|\overrightarrow{OA}|=6$;求$A$的坐标?

• 解:

  • $\alpha =\frac{\pi }{3},\beta =\frac{\pi }{4}$,由关系是${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$,得${\cos }^2\gamma =1-(\frac{1}{2}{)}^2-(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2=\frac{1}{4}$

  • 因为$A$在第1卦限,所以$\cos \gamma >0$,$\cos \gamma =\frac{1}{2}$

  • $\overrightarrow{OA}$=$|\overrightarrow{OA}|(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$=$6(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$=$(3,3\sqrt{2},3)$

投影

• 向量的投影和向量的数量积有密切关系

• 对于恒力做功大小计算公式做功公式$W=|\mathbf{F}||\mathbf{s}|\cos \theta$进行讨论

投影大小

• 其中$|\mathbf{F}|\cos \theta$表示力$\mathbf{F}$在向量$\mathbf{s}$方向上的投影的大小,记为${\text{Prj}}_{\mathbf{s}}\mathbf{F}$=$|\mathbf{F}|\cos \theta$
• 则对应于做功公式:$W=|\mathbf{s}|{\text{Prj}}_{\mathbf{s}}\mathbf{F}$
• 对于一般的向量,${\text{Prj}}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}$=$|b|\cos \theta$

投影大小和数量积的关系

• $(\mathbf{a},\mathbf{b})$=$|a||b|\cos \theta$=$|a|{\text{Prj}}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}$
• ${\text{Prj}}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}$=$\frac{(\mathbf{a},\mathbf{b})}{|\mathbf{a}|}$=$(\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|},\mathbf{b})$

投影向量(分向量)👺

• 有时我们不仅需要计算向量$\mathbf{b}$在另一个向量$\mathbf{a}$方向上的投影大小$w$,还希望知道方向,即得到一个大小为$w$,方向与$\mathbf{a}$通向的向量,通常称为$\mathbf{b}$在$\mathbf{a}$方向上的分向量,记为${\mathbf{b}}_{\mathbf{a}}$或$v(\mathbf{b},\mathbf{a})$
  • 例如做向量的正交化(施密特正交化)或正交分解会用到
• 而想构造一个大小和方向一致的向量只需要用大小的值乘以给定方向的单位方向向量即可
• ${\mathbf{b}}_{\mathbf{a}}={\text{Prj}}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}\cdot \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$=$\frac{(\mathbf{a},\mathbf{b})}{|\mathbf{a}|}$ $\cdot$ $\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$=$\frac{(\mathbf{a},\mathbf{b})}{|\mathbf{a}{|}^2}\mathbf{a}$

向量在坐标轴上的投影

• 假设三维空间向量$\mathbf{a}$的起点位于坐标系原点O,重点设为P,该向量在$x$轴上的投影点设为A,则$RT△OAP$的直角为$\angle OAP$,设其中的$\angle PAO=\alpha$,线段$a_x=|OA|=|\mathbf{a}|\cos \alpha$,是$\mathbf{a}$在$x$轴上的投影,同时也是$\mathbf{a}$在$x$轴上的坐标值

• 类似的,$\mathbf{a}$在$x,y,z$轴上的投影为$a_y=|\mathbf{a}|\cos \beta$,$a_z=|\mathbf{a}|\cos \gamma$

• 投影的符号记法:向量$\mathbf{r}$在坐标轴$u$上的投影可以记为${\text{Prj}}_u\mathbf{r}$或$(\mathbf{r}{)}_u$,即把坐标轴写作角标

  • 向量$\mathbf{r}$在向量$\mathbf{a}(\mathbf{a}\ne 0)$上的投影${\text{Prj}}_{\mathbf{a}}\mathbf{r}$是指,$\mathbf{r}$在(某条)与$\mathbf{a}$同方向的轴上的投影

• 根据向量$\overrightarrow{OA}$在$x,y,z$轴上的投影和$A=(a_x,a_y,a_z)$在坐标轴上的投影的相等关系

  • $\mathbf{a}$=$(a_x,a_y,a_z)$=$(({\mathbf{a}}_x),({\mathbf{a}}_y),({\mathbf{a}}_z))$=$(|\mathbf{a}|\cos \alpha ,|\mathbf{a}|\cos \beta ,|\mathbf{a}|\cos \gamma )$

投影性质小结

• 设2个向量(坐标分解式)$\mathbf{a}=(\cdots ,a_u,\cdots ),\mathbf{b}=(\cdots ,b_u,\cdots )$
  • $(\cdots ,a_u+b_u,\cdots )=(\cdots ,a_u,\cdots )+(\cdots ,b_u,\cdots )$
  • $\lambda (\cdots ,a_u,\cdots )=(\cdots ,\lambda a_u,\cdots )$

1. $(\mathbf{a}{)}_u=|\mathbf{a}|\cos \theta$,($\theta =<\mathbf{a},u>$)这里u表示一个方向或者轴
2. 在u轴上的投影的关系$(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}_u=(\mathbf{a}{)}_u+(\mathbf{b}{)}_u$
3. $(\lambda \mathbf{a}{)}_u=\lambda (\mathbf{a}{)}_u$

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