数学之美:导数和极值的关系是什么_导数与函数的极值、最值[通俗易懂]

数学之美:导数和极值的关系是什么_导数与函数的极值、最值[通俗易懂]预备知识 导数图1:导数为零的三种点  如图1,若一个一元函数在某区间内处处可导(即对区间内的任何导数都存在),若区间内存在某些能使(即在这些点处函数曲线的斜率为零),这样的点被称为驻点.  而从

预备知识 导数

图1:导数为零的三种点

数学之美:导数和极值的关系是什么_导数与函数的极值、最值[通俗易懂]

   如图 1 , 若一个一元函数 y=f(x) 在某区间内处处可导(即对区间内的任何 x 导数 f'(x) 都存在),若区间内存在某些 x_i 能使 f'(x_i)=0 ( 即在这些点处函数曲线的斜率为零), 这样的点被称为驻点.

   而从函数曲线来看,驻点又分为三类: 极大值,极小值,鞍点. 我们以x_i为中心取一个小区间, 如果这个区间足够小, 那么容易看出对于极大值点, f'(x) 在小区间内递减, 对于鞍点, f'(x) 在小区间内恒为非负或恒为非正, 对于极小值点, f'(x) 在小区间内递增. 所以为了判断驻点的类型, 我们可以在驻点处求函数的二阶导数 f''(x_i) . 假设二阶偏导存在, 如果 f''(x_i)<0 , 那么 x_i 是极大值点, 如果 f''(x_i)=0 , 则 x_i 是鞍点, 如果 f''(x_i) title=0″> ,x_i 是极小值点.

   另外, 若某个极小值点是整个考察区间中函数值最小的点, 它就被称为最小值点, 若某个极大值点是该区间中函数值最大的点, 它就被称为最大值点.

例1 

   二次函数 
f(x)=ax^2+bx+c 的导函数为 
f'(x)=2ax+b , 所以唯一的驻点为 
-b/(2a) . 函数的二阶导数是一个常数 
f''(x)=2a , 所以当 
数学之美:导数和极值的关系是什么_导数与函数的极值、最值[通俗易懂]0″> 时驻点是唯一的极小值点, 即最小值点. 同理, 当 
a<0 时驻点是最大值点.

 

图2:例 2 函数图

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例2 

   函数 
数学之美:导数和极值的关系是什么_导数与函数的极值、最值[通俗易懂]0)”> 的一阶导函数为 
f'(x)=1-a/x^2 , 若我们只考察区间 
(0,+\infty) , 唯一的驻点为 
x=\sqrt{a} . 函数的二阶导函数 
f''(x)=2a/x^3 在驻点处的值为 
数学之美:导数和极值的关系是什么_导数与函数的极值、最值[通俗易懂]0″> , 所以该驻点为当前区间的最小值点(
图 2 ).

 

例3 

   函数 
f(x)=x^3 的一阶导函数为 
f'(x)=3x^2 , 唯一的驻点为 
x=0 . 函数的二阶导函数 
f''(x)=6x 在驻点处的值为 
数学之美:导数和极值的关系是什么_导数与函数的极值、最值[通俗易懂]0 , 所以该驻点是一个鞍点.

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