数学之美:导数和极值的关系是什么_导数与函数的极值、最值[通俗易懂]

预备知识　导数

图1：导数为零的三种点

　　 如图 1 ， 若一个一元函数  在某区间内处处可导（即对区间内的任何  导数  都存在），若区间内存在某些  能使  （ 即在这些点处函数曲线的斜率为零）， 这样的点被称为驻点．

　　 而从函数曲线来看，驻点又分为三类： 极大值，极小值，鞍点． 我们以为中心取一个小区间， 如果这个区间足够小， 那么容易看出对于极大值点，  在小区间内递减， 对于鞍点，  在小区间内恒为非负或恒为非正， 对于极小值点，  在小区间内递增． 所以为了判断驻点的类型， 我们可以在驻点处求函数的二阶导数  ． 假设二阶偏导存在， 如果  ， 那么  是极大值点， 如果  ， 则  是鞍点， 如果 0″> ， 是极小值点．

　　 另外， 若某个极小值点是整个考察区间中函数值最小的点， 它就被称为最小值点， 若某个极大值点是该区间中函数值最大的点， 它就被称为最大值点．

例1 

　　 二次函数 
 的导函数为 
 ， 所以唯一的驻点为 
 ． 函数的二阶导数是一个常数 
 ， 所以当 
0″> 时驻点是唯一的极小值点， 即最小值点． 同理， 当 
 时驻点是最大值点．

图2：例 2 函数图

例2 

　　 函数 
0)”> 的一阶导函数为 
 ， 若我们只考察区间 
 ， 唯一的驻点为 
 ． 函数的二阶导函数 
 在驻点处的值为 
0″> ， 所以该驻点为当前区间的最小值点（
图 2 ）．

例3 

　　 函数 
 的一阶导函数为 
 ， 唯一的驻点为 
 ． 函数的二阶导函数 
 在驻点处的值为 
 ， 所以该驻点是一个鞍点．

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