因式分解与整式乘法是互逆的运算，是学好代数的基础之一. 因式分解的每一步都必须是恒等变形，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用.
在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等.
一、提公因式法
1.1 公因式是单项式的因式分解
确定公因式的方法：
①系数:取各项系数的最大公因数;
②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);
③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂.
注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.
【例1】分解因式： − 4 m 4 n + 16 m 3 n − 28 m 2 n -4m^4n+16m^3n-28m^2n −4m4n+16m3n−28m2n
解:原式= − 4 m 2 n ( m 2 − 4 m + 7 ) . -4m^2n(m^2-4m+7). −4m2n(m2−4m+7).
1.2 公因式是多项式的因式分解
【例2】分解因式： 15 b ( 2 a − b ) 2 + 25 ( b − 2 a ) 2 15b(2a-b)²+25(b-2a)² 15b(2a−b)2+25(b−2a)2
解:原式= 15 b ( 2 a − b ) 2 + 25 ( 2 a − b ) 2 = 5 ( 2 a − b ) 2 ( 3 b + 5 ) 15b(2a-b)²+25(2a-b)²=5(2a-b)²(3b+5) 15b(2a−b)2+25(2a−b)2=5(2a−b)2(3b+5)
二、公式法
2.1 直接用公式法
【例3】分解因式：
(1) ( x 2 + y 2 ) 2 一 4 x 2 y 2 (x²+y²)²一4x²y² (x2+y2)2一4x2y2
(2) ( x 2 十 6 x ) 2 + 18 ( x 2 + 6 x ) + 81 (x²十6x)²+18(x²+6x)+81 (x2十6x)2+18(x2+6x)+81
解:(1)原式= ( x 2 + y 2 + 2 x y ) ( x 2 + y 2 − 2 x y ) = ( x + y ) 2 ( x − y ) 2 (x²+y²+2xy)(x²+y²-2xy)=(x+y)²(x-y)² (x2+y2+2xy)(x2+y2−2xy)=(x+y)2(x−y)2
(2)原式= ( x 2 + 6 x + 9 ) 2 = [ ( x + 3 ) 2 ] 2 = ( x + 3 ) 4 (x²+6x+9)²=[(x+3)²]²=(x+3)^4 (x2+6x+9)2=[(x+3)2]2=(x+3)4
2.2 先提再套法
【例4】分解因式： − 3 x 7 + 24 x 5 − 48 x 3 -3x^7+24x^5-48x^3 −3x7+24x5−48x3
解:原式= − 3 x 3 ( x 4 − 8 x 2 + 16 ) = − 3 x 3 ( x 2 − 4 ) 2 = − 3 x 3 ( x + 2 ) 2 ( x − 2 ) 2 -3x^3(x^4-8x^2+16)=-3x^3(x^2-4)^2=-3x^3(x+2)^2(x-2)^2 −3x3(x4−8x2+16)=−3x3(x2−4)2=−3x3(x+2)2(x−2)2
2.3 先局部再整法
【例5】分解因式： 9 x 2 − 16 − ( x + 3 ) ( 3 x + 4 ) 9x²-16-(x+3)(3x+4) 9x2−16−(x+3)(3x+4)
解:原式= ( 3 x + 4 ) ( 3 x − 4 ) − ( x + 3 ) ( 3 x + 4 ) = ( 3 x + 4 ) [ ( 3 x − 4 ) − ( x + 3 ) ] = ( 3 x + 4 ) ( 2 x − 7 ) (3x+4)(3x-4)-(x+3)(3x+4)=(3x+4)[(3x-4)-(x+3)]=(3x+4)(2x-7) (3x+4)(3x−4)−(x+3)(3x+4)=(3x+4)[(3x−4)−(x+3)]=(3x+4)(2x−7)
2.4 先展开再分解法
【例6】分解因式 ： 4 x ( y − x ) − y 2 4x(y-x)-y² 4x(y−x)−y2
解:原式= 4 x y − 4 x 2 − y 2 = − ( 4 x 2 − 4 x y + y 2 ) = − ( 2 x − y ) 2 4xy-4x²-y²=-(4x²-4xy+y²)=-(2x-y)² 4xy−4x2−y2=−(4x2−4xy+y2)=−(2x−y)2
三、分组分解法
【例7】分解因式： x 2 − 2 x y + y 2 − 9 x²-2xy+y²-9 x2−2xy+y2−9
解:原式= ( x − y ) 2 − 9 = ( x − y + 3 ) ( x − y + 3 ) (x-y)²-9=(x-y+3)(x-y+3) (x−y)2−9=(x−y+3)(x−y+3)
四、拆、添项法
【例8】分解因式： x 4 + 4 x^4+4 x4+4
解:原式= x 4 + 4 x + 4 − 4 x 2 = ( x 2 + 2 ) 2 − 4 x 2 = ( x 2 + 2 + 2 x ) ( x 2 + 2 − 2 x ) x^4+4x+4-4x^2=(x²+2)²-4x^2=(x²+2+2x)(x²+2-2x) x4+4x+4−4x2=(x2+2)2−4x2=(x2+2+2x)(x2+2−2x)
五、整体法
5.1 “提”整体
【例9】分解因式： a ( x + y − z ) − b ( z − x − y ) − c ( x − z + y ) a(x+y-z)-b(z-x-y)-c(x-z+y) a(x+y−z)−b(z−x−y)−c(x−z+y)
解:原式= a ( x + y − z ) + b ( x + y − z ) − c ( x + y − z ) = ( x + y − z ) ( a + b − c ) a(x+y-z)+b(x+y-z)-c(x+y-z)=(x+y-z)(a+b-c) a(x+y−z)+b(x+y−z)−c(x+y−z)=(x+y−z)(a+b−c)
5.2 “当”整体
【例10】分解因式： ( x + y ) 2 − 4 ( x + y − 1 ) (x+y)²-4(x+y-1) (x+y)2−4(x+y−1)
解:原式= ( x + y ) 2 − 4 ( x + y ) + 4 = ( x + y − 2 ) 2 (x+y)²-4(x+y)+4=(x+y-2)² (x+y)2−4(x+y)+4=(x+y−2)2
5.3 “拆”整体
【例11】分解因式： a b ( c 2 + d 2 ) + c d ( a 2 + b 2 ) ab(c²+d²)+cd(a²+b²) ab(c2+d2)+cd(a2+b2)
解:原式= a b c 2 + a b d 2 + c d a 2 + c d b 2 = ( a b c 2 + c d a 2 ) + ( a b d 2 + c d b 2 ) = a c ( b c + a d ) + b d ( a d + b c ) = ( b c + a d ) ( a c + b d ) abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)=(bc+ad)(ac+bd) abc2+abd2+cda2+cdb2=(abc2+cda2)+(abd2+cdb2)=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)=(bc+ad)(ac+bd)
5.4 “凑”整体
【例12】分解因式： x 2 − y 2 − 4 x + 6 y − 5 x²-y²-4x+6y-5 x2−y2−4x+6y−5
解:原式= ( x 2 − 4 x + 4 ) − ( y 2 − 6 y + 9 ) = ( x − 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = [ ( x − 2 ) + ( y − 3 ) ] [ ( x − 2 ) − ( y − 3 ) ] = ( x + y − 5 ) ( x − y + 1 ) (x²-4x+4)-(y²-6y+9)=(x-2)²+(y-3)²=[(x-2)+(y-3)][(x-2)-(y-3)]=(x+y-5)(x-y+1) (x2−4x+4)−(y2−6y+9)=(x−2)2+(y−3)2=[(x−2)+(y−3)][(x−2)−(y−3)]=(x+y−5)(x−y+1)
六、换元法
【例13】分解因式： ( a 2 + 2 a − 2 ) ( a 2 + 2 a + 4 ) + 9 (a²+2a-2)(a²+2a+4)+9 (a2+2a−2)(a2+2a+4)+9
解:设 a 2 + 2 a = m a²+2a=m a2+2a=m，则原式 = ( m − 2 ) ( m + 4 ) + 9 = m 2 + 4 m − 2 m − 8 + 9 = m 2 + 2 m + 1 = ( m + 1 ) 2 = ( a 2 + 2 a + 1 ) 2 = ( a + 1 ) 4 =(m-2)(m+4)+9=m²+4m-2m-8+9=m²+2m+1=(m+1)²=(a²+2a+1)²=(a+1)^4 =(m−2)(m+4)+9=m2+4m−2m−8+9=m2+2m+1=(m+1)2=(a2+2a+1)2=(a+1)4
七、十字相乘法
十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.
公式: x 2 + ( a + b ) x + a b = ( x + a ) ( x + b ) x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)或
对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得 x 2 x² x2，中间右侧上下相乘得 a b ab ab，中间上下斜对角相乘之和为 ( a + b ) x (a+b)x (a+b)x，则能进行分解.
【例14】分解因式： x 2 − 5 x − 14 x²-5x-14 x2−5x−14
解:原式= ( x − 7 ) ( x + 2 ) (x-7)(x+2) (x−7)(x+2)
八、待定系数法
【例15】分解因式： x 2 + 3 x y + 2 y 2 + 4 x + 5 y + 3 x²+3xy+2y²+4x+5y+3 x2+3xy+2y2+4x+5y+3
解: ∵ x 2 + 3 x y + 2 y 2 = ( x + y ) ( x + 2 y ) ∵x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y) ∵x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y)
设原式= ( x + y + m ) ( x + 2 y + n ) = x 2 + 3 x y + 2 y 2 + ( m + n ) x + ( 2 m + n ) y + m n (x+y+m)(x+2y+n)=x²+3xy+2y²+(m+n)x+(2m+n)y+mn (x+y+m)(x+2y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(2m+n)y+mn.
两边比较系数，得 { m + n = 4 2 m + n = 5 m n = 3 \left\{\begin{aligned}m+n&=4\\2m+n&=5\\mn&=3\end{aligned}\right. ⎩
⎨
⎧m+n2m+nmn=4=5=3所以 { m = 1 n = 3 \left\{\begin{aligned}m&=1\\n&=3\end{aligned}\right. {
mn=1=3
∴ ∴ ∴ 原式= ( x + y + 1 ) ( x + 2 y + 3 ) (x+y+1)(x+2y+3) (x+y+1)(x+2y+3)
原文
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