上期谈到用Python实现求解运输问题 (Transportation Problem, TP) 的表上作业法的第一步——利用Vogel法寻找初始基可行解：
运输问题的表上作业法（一）：利用伏格尔 (Vogel) 法寻找初始基可行解
这期来讲讲找到初始基可行解之后怎样判断当前解是否是最优解。如果当前解已达到最优，那么无需再进行操作；如果当前解非最优，那么还要对当前解进行调整以达到最优。调整解的操作放到下一期再讲，本期先谈谈怎样判断最优性。
通常判断TP问题解的最优性有两种方法：闭回路法和位势法。考虑到两种方法代码的复杂程度，我们重点讲讲更容易实现的位势法。位势法（Potentials）又称对偶变量法，是利用线性规划的对偶原理计算解的检验数，从而通过检验数判断最优性的方法。关于对偶原理，请参考运筹学相关书籍，这里不进行阐述，而只对位势法原理进行简单介绍。
位势法（对偶变量法）
位势法应用实例
下面通过一个运输问题的例题进一步说明位势法原理。
Example：
已知该TP问题的运输（成本）表如下（将中间3×4的成本表记为表1）：
- 通过最小元素法找到一组初始基可行解：
- 把初始基可行解中非零元素对应位置的成本系数剥离出来，并添加上位势（图中u1-u3、v1-v4），记为表2：
- 构建位势方程组（需要注意的是，TP问题的可行解中非零变量个数为m+n-1，其中m、n分别是成本矩阵的行数和列数（本例中m=3,n=4），所以位势方程组应该含有m+n-1个方程；但是位势的个数为m+n，即方程组有m+n个未知量，多于方程的个数，可知方程组是解不出来的，因此我们随便令某个位势=0，即可求解这个方程组，并且此操作对最后检验数无影响）：
- 求出位势后，将ui+vj填入成本表中对应解变量为0的位置，记为表3：
- 表1-表3（σij=cij-(ui+vj)，对应位置元素相减），得到检验数表σ：
- 判断最优性：由于本例是极小化问题，如果检验数表中存在σij<0，说明当前解未达到最优，需要对解进行进一步的调整；否则，当前解达到最优（本例中当前初始基可行解并非最优解，因为σ24=-1<0）。如果采用的检验数σij=(ui+vj)-cij，则全部反向判断即可。
位势法的Python语句
同样使用上面的例题，但在寻找初始基可行解时运用Vogel法，编制Python程序进行求解。
首先将运输表写入EXCEL表格并保存，文件名为TP_PPT_Sample1.xlsx：
然后执行以下代码：
#Vogel法寻找初始基可行解+位势法判断解的最优性
import numpy as np
import copy
import pandas as pd
def TP_split_matrix(mat):
c=mat[:-1,:-1]
a=mat[:-1,-1]
b=mat[-1,:-1]
return (c,a,b)
def TP_vogel(var): #Vogel法代码，变量var可以是以numpy.ndarray保存的运输表，或以tuple或list保存的(成本矩阵,供给向量,需求向量)
import numpy
typevar1=type(var)==numpy.ndarray
typevar2=type(var)==tuple
typevar3=type(var)==list
if typevar1==False and typevar2==False and typevar3==False:
print('>>>非法变量<<<')
(cost,x)=(None,None)
else:
if typevar1==True:
[c,a,b]=TP_split_matrix(var)
elif typevar2==True or typevar3==True:
[c,a,b]=var
cost=copy.deepcopy(c)
x=np.zeros(c.shape)
M=pow(10,9)
for factor in c.reshape(1,-1)[0]:
while int(factor)!=M:
if np.all(c==M):
break
else:
print('c:\n',c)
#获取行/列最小值数组
row_mini1=[]
row_mini2=[]
for row in range(c.shape[0]):
Row=list(c[row,:])
row_min=min(Row)
row_mini1.append(row_min)
Row.remove(row_min)
row_2nd_min=min(Row)
row_mini2.append(row_2nd_min)
#print(row_mini1,'\n',row_mini2)
r_pun=[row_mini2[i]-row_mini1[i] for i in range(len(row_mini1))]
print('行罚数：',r_pun)
#计算列罚数
col_mini1=[]
col_mini2=[]
for col in range(c.shape[1]):
Col=list(c[:,col])
col_min=min(Col)
col_mini1.append(col_min)
Col.remove(col_min)
col_2nd_min=min(Col)
col_mini2.append(col_2nd_min)
c_pun=[col_mini2[i]-col_mini1[i] for i in range(len(col_mini1))]
print('列罚数：',c_pun)
pun=copy.deepcopy(r_pun)
pun.extend(c_pun)
print('罚数向量：',pun)
max_pun=max(pun)
max_pun_index=pun.index(max(pun))
max_pun_num=max_pun_index+1
print('最大罚数：',max_pun,'元素序号：',max_pun_num)
if max_pun_num<=len(r_pun):
row_num=max_pun_num
print('对第',row_num,'行进行操作：')
row_index=row_num-1
catch_row=c[row_index,:]
print(catch_row)
min_cost_colindex=int(np.argwhere(catch_row==min(catch_row)))
print('最小成本所在列索引：',min_cost_colindex)
if a[row_index]<=b[min_cost_colindex]:
x[row_index,min_cost_colindex]=a[row_index]
c1=copy.deepcopy(c)
c1[row_index,:]=[M]*c1.shape[1]
b[min_cost_colindex]-=a[row_index]
a[row_index]-=a[row_index]
else:
x[row_index,min_cost_colindex]=b[min_cost_colindex]
c1=copy.deepcopy(c)
c1[:,min_cost_colindex]=[M]*c1.shape[0]
a[row_index]-=b[min_cost_colindex]
b[min_cost_colindex]-=b[min_cost_colindex]
else:
col_num=max_pun_num-len(r_pun)
col_index=col_num-1
print('对第',col_num,'列进行操作：')
catch_col=c[:,col_index]
print(catch_col)
#寻找最大罚数所在行/列的最小成本系数
min_cost_rowindex=int(np.argwhere(catch_col==min(catch_col)))
print('最小成本所在行索引：',min_cost_rowindex)
#计算将该位置应填入x矩阵的数值（a,b中较小值）
if a[min_cost_rowindex]<=b[col_index]:
x[min_cost_rowindex,col_index]=a[min_cost_rowindex]
c1=copy.deepcopy(c)
c1[min_cost_rowindex,:]=[M]*c1.shape[1]
b[col_index]-=a[min_cost_rowindex]
a[min_cost_rowindex]-=a[min_cost_rowindex]
else:
x[min_cost_rowindex,col_index]=b[col_index]
#填入后删除已满足/耗尽资源系数的行/列，得到剩余的成本矩阵，并改写资源系数
c1=copy.deepcopy(c)
c1[:,col_index]=[M]*c1.shape[0]
a[min_cost_rowindex]-=b[col_index]
b[col_index]-=b[col_index]
c=c1
print('本次迭代后的x矩阵：\n',x)
print('a:',a)
print('b:',b)
print('c:\n',c)
if np.all(c==M):
print('【迭代完成】')
print('-'*60)
else:
print('【迭代未完成】')
print('-'*60)
total_cost=np.sum(np.multiply(x,cost))
if np.all(a==0):
if np.all(b==0):
print('>>>供求平衡<<<')
else:
print('>>>供不应求，需求方有余量<<<')
elif np.all(b==0):
print('>>>供大于求，供给方有余量<<<')
else:
print('>>>无法找到初始基可行解<<<')
print('>>>初始基本可行解x*：\n',x)
print('>>>当前总成本：',total_cost)
[m,n]=x.shape
varnum=np.array(np.nonzero(x)).shape[1]
if varnum!=m+n-1:
print('【注意：问题含有退化解】')
return (cost,x)
def create_c_nonzeros(c,x):
import numpy as np
import copy
nonzeros=copy.deepcopy(x)
for i in range(x.shape[0]):
for j in range(x.shape[1]):
if x[i,j]!=0:
nonzeros[i,j]=1
#print(nonzeros)
c_nonzeros=np.multiply(c,nonzeros)
return c_nonzeros
def if_dsquare(a,b):
print('a:',a.shape,'\n','b:',b.shape)
correct='>>>位势方程组可解<<<'
error='>>>位势方程组不可解，请检查基变量个数是否等于(m+n-1)及位势未知量个数是否等于(m+n)<<<'
if len(a.shape)==2:
if len(b.shape)==2:
if a.shape[0]==a.shape[1] and a.shape==b.shape:
print(correct)
if_dsquare=True
else:
print(error)
if_dsquare=False
elif len(b.shape)==1 and b.shape[0]!=0:
if a.shape[0]==a.shape[1] and a.shape[0]==b.shape[0]:
print(correct)
if_dsquare=True
else:
print(error)
if_dsquare=False
else:
print(error)
if_dsquare=False
elif len(a.shape)==1:
if len(b.shape)==2:
if b.shape[0]==b.shape[1] and a.shape[0]==b.shape[0]:
print('>>>位势方程组系数矩阵与方程组值向量位置错误<<<')
if_dsquare='True but not solvable'
else:
print(error)
if_dsquare=False
elif len(b.shape)==1:
print(error)
if_dsquare=False
else:
print(error)
if_dsquare=False
else:
print(error)
if_dsquare=False
return if_dsquare
def TP_potential(cost,x):
[m,n]=x.shape
varnum=np.array(np.nonzero(x)).shape[1]
if varnum!=m+n-1:
sigma=None
print('【问题含有退化解，暂时无法判断最优性】')
else:
#print(c_nonzeros.shape)
c_nonzeros=create_c_nonzeros(c,x)
cc_nonzeros=np.array(np.nonzero(c_nonzeros))
A=[]
B=[]
length=c_nonzeros.shape[0]+c_nonzeros.shape[1]
zeros=np.zeros((1,length))[0]
for i in range(cc_nonzeros.shape[1]):
zeros=np.zeros((1,length))[0]
zeros[cc_nonzeros[0,i]]=1
zeros[cc_nonzeros[1,i]+c_nonzeros.shape[0]]=1
A.append(zeros)
B.append(c_nonzeros[cc_nonzeros[0,i],cc_nonzeros[1,i]])
l=[1]
for j in range(length-1):
l.append(0) #补充一个x1=0的方程以满足求解条件
A.append(l)
B.append(0)
#print(A)
#print(B)
A=np.array(A)
B=np.array(B)
judge=if_dsquare(A,B)
if judge==True:
sol=np.linalg.solve(A,B) #求解条件：A的行数（方程个数)=A的列数(变量个数）=B的个数（方程结果个数）才能解
#print(sol)
var=[] #创建位势名称数组
for i in range(c_nonzeros.shape[0]):
var.append('u'+str(i+1))
for j in range(c_nonzeros.shape[1]):
var.append('v'+str(j+1))
#print(var)
solset=dict(zip(var,sol))
print('>>>当前位势:\n',solset)
u=[]
v=[]
[m,n]=c_nonzeros.shape
zero_places=np.transpose(np.argwhere(c_nonzeros==0))
for i in range(m):
u.append(sol[i])
for j in range(n):
v.append(sol[j+m])
for k in range(zero_places.shape[1]):
c_nonzeros[zero_places[0,k],zero_places[1,k]]=u[zero_places[0,k]]+v[zero_places[1,k]]
#print(c_nonzeros)
sigma=cost-c_nonzeros
print('>>>检验表σ：\n',sigma)
if np.all(sigma>=0):
print('>>>TP已达到最优解<<<')
else:
print('>>>TP未达到最优解<<<')
else:
sigma=None
print('>>>位势方程组不可解<<<')
return sigma
path=r'C:\Users\spurs\Desktop\MCM_ICM\Data files\TP_PPT_Sample1.xlsx'
mat=pd.read_excel(path,header=None).values
#c=np.array([[3,11,3,10],[1,9,2,8],[7,4,10,5]])
#a=np.array([7,4,9])
#b=np.array([3,6,5,6])
[c,x]=TP_vogel(mat)
#[c,x]=TP_vogel([c,a,b])
sigma=TP_potential(c,x)
运行结果：
c:
[[ 3. 11. 3. 10.]
[ 1. 9. 2. 8.]
[ 7. 4. 10. 5.]]
行罚数： [0.0, 1.0, 1.0]
列罚数： [2.0, 5.0, 1.0, 3.0]
罚数向量： [0.0, 1.0, 1.0, 2.0, 5.0, 1.0, 3.0]
最大罚数： 5.0 元素序号： 5
对第 2 列进行操作：
[11. 9. 4.]
最小成本所在行索引： 2
本次迭代后的x矩阵：
[[0. 0. 0. 0.]
[0. 0. 0. 0.]
[0. 6. 0. 0.]]
a: [7. 4. 3.]
b: [3. 0. 5. 6.]
c:
[[3.e+00 1.e+09 3.e+00 1.e+01]
[1.e+00 1.e+09 2.e+00 8.e+00]
[7.e+00 1.e+09 1.e+01 5.e+00]]
【迭代未完成】
------------------------------------------------------------
c:
[[3.e+00 1.e+09 3.e+00 1.e+01]
[1.e+00 1.e+09 2.e+00 8.e+00]
[7.e+00 1.e+09 1.e+01 5.e+00]]
行罚数： [0.0, 1.0, 2.0]
列罚数： [2.0, 0.0, 1.0, 3.0]
罚数向量： [0.0, 1.0, 2.0, 2.0, 0.0, 1.0, 3.0]
最大罚数： 3.0 元素序号： 7
对第 4 列进行操作：
[10. 8. 5.]
最小成本所在行索引： 2
本次迭代后的x矩阵：
[[0. 0. 0. 0.]
[0. 0. 0. 0.]
[0. 6. 0. 3.]]
a: [7. 4. 0.]
b: [3. 0. 5. 3.]
c:
[[3.e+00 1.e+09 3.e+00 1.e+01]
[1.e+00 1.e+09 2.e+00 8.e+00]
[1.e+09 1.e+09 1.e+09 1.e+09]]
【迭代未完成】
------------------------------------------------------------
c:
[[3.e+00 1.e+09 3.e+00 1.e+01]
[1.e+00 1.e+09 2.e+00 8.e+00]
[1.e+09 1.e+09 1.e+09 1.e+09]]
行罚数： [0.0, 1.0, 0.0]
列罚数： [2.0, 0.0, 1.0, 2.0]
罚数向量： [0.0, 1.0, 0.0, 2.0, 0.0, 1.0, 2.0]
最大罚数： 2.0 元素序号： 4
对第 1 列进行操作：
[3.e+00 1.e+00 1.e+09]
最小成本所在行索引： 1
本次迭代后的x矩阵：
[[0. 0. 0. 0.]
[3. 0. 0. 0.]
[0. 6. 0. 3.]]
a: [7. 1. 0.]
b: [0. 0. 5. 3.]
c:
[[1.e+09 1.e+09 3.e+00 1.e+01]
[1.e+09 1.e+09 2.e+00 8.e+00]
[1.e+09 1.e+09 1.e+09 1.e+09]]
【迭代未完成】
------------------------------------------------------------
c:
[[1.e+09 1.e+09 3.e+00 1.e+01]
[1.e+09 1.e+09 2.e+00 8.e+00]
[1.e+09 1.e+09 1.e+09 1.e+09]]
行罚数： [7.0, 6.0, 0.0]
列罚数： [0.0, 0.0, 1.0, 2.0]
罚数向量： [7.0, 6.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 2.0]
最大罚数： 7.0 元素序号： 1
对第 1 行进行操作：
[1.e+09 1.e+09 3.e+00 1.e+01]
最小成本所在列索引： 2
本次迭代后的x矩阵：
[[0. 0. 5. 0.]
[3. 0. 0. 0.]
[0. 6. 0. 3.]]
a: [2. 1. 0.]
b: [0. 0. 0. 3.]
c:
[[1.e+09 1.e+09 1.e+09 1.e+01]
[1.e+09 1.e+09 1.e+09 8.e+00]
[1.e+09 1.e+09 1.e+09 1.e+09]]
【迭代未完成】
------------------------------------------------------------
c:
[[1.e+09 1.e+09 1.e+09 1.e+01]
[1.e+09 1.e+09 1.e+09 8.e+00]
[1.e+09 1.e+09 1.e+09 1.e+09]]
行罚数： [999999990.0, 999999992.0, 0.0]
列罚数： [0.0, 0.0, 0.0, 2.0]
罚数向量： [999999990.0, 999999992.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 2.0]
最大罚数： 999999992.0 元素序号： 2
对第 2 行进行操作：
[1.e+09 1.e+09 1.e+09 8.e+00]
最小成本所在列索引： 3
本次迭代后的x矩阵：
[[0. 0. 5. 0.]
[3. 0. 0. 1.]
[0. 6. 0. 3.]]
a: [2. 0. 0.]
b: [0. 0. 0. 2.]
c:
[[1.e+09 1.e+09 1.e+09 1.e+01]
[1.e+09 1.e+09 1.e+09 1.e+09]
[1.e+09 1.e+09 1.e+09 1.e+09]]
【迭代未完成】
------------------------------------------------------------
c:
[[1.e+09 1.e+09 1.e+09 1.e+01]
[1.e+09 1.e+09 1.e+09 1.e+09]
[1.e+09 1.e+09 1.e+09 1.e+09]]
行罚数： [999999990.0, 0.0, 0.0]
列罚数： [0.0, 0.0, 0.0, 999999990.0]
罚数向量： [999999990.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 999999990.0]
最大罚数： 999999990.0 元素序号： 1
对第 1 行进行操作：
[1.e+09 1.e+09 1.e+09 1.e+01]
最小成本所在列索引： 3
本次迭代后的x矩阵：
[[0. 0. 5. 2.]
[3. 0. 0. 1.]
[0. 6. 0. 3.]]
a: [0. 0. 0.]
b: [0. 0. 0. 0.]
c:
[[1.e+09 1.e+09 1.e+09 1.e+09]
[1.e+09 1.e+09 1.e+09 1.e+09]
[1.e+09 1.e+09 1.e+09 1.e+09]]
【迭代完成】
------------------------------------------------------------
>>>供求平衡<<<
>>>初始基本可行解x*：
[[0. 0. 5. 2.]
[3. 0. 0. 1.]
[0. 6. 0. 3.]]
>>>当前总成本： 85.0
>>>位势方程组可解<<<
>>>当前位势:
{
'u1': 0.0, 'u2': -2.0, 'u3': -5.0, 'v1': 3.0, 'v2': 9.0, 'v3': 3.0, 'v4': 10.0}
>>>检验数表σ：
[[ 0. 2. 0. 0.]
[ 0. 2. 1. 0.]
[ 9. 0. 12. 0.]]
>>>TP已达到最优解<<<
可见，这次我们用Vogel法找到的初始基可行解已经是最优解（检验数表σ中元素均大于0），再次证明Vogel法比最小元素法求解效率更高。
对于存在退化现象的问题，由于笔者能力原因，暂时没有找到最优解决方案，因此程序会提示暂时无法判断最优性：
Example:
Result:
>>>供求平衡<<<
>>>初始基本可行解x*：
[[1. 0. 0. 0. 0.]
[0. 0. 1. 0. 0.]
[0. 0. 0. 1. 0.]
[0. 0. 0. 0. 1.]
[0. 1. 0. 0. 0.]]
>>>当前总成本： 0.8999999999999999
【注意：问题含有退化解】
【问题含有退化解，暂时无法判断最优性】
对于此类问题的解决方案笔者会在将来进行补充。
函数使用方法：
TP_potential (c,x): c是成本矩阵，x是当前可行解矩阵。
本函数返回的是当前解的检验数矩阵。
感谢阅读，欢迎指正。
今天的文章运输问题 位势法_运筹学的运输问题例题讲解分享到此就结束了，感谢您的阅读。
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