自动控制原理线性系统稳态误差计算_自动控制原理胡寿松辅导资料

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前言

汇总版在这篇文章:自动控制原理上课笔记

线性系统的时域分析

一阶系统的时域分析

线性定常系统在任意输入信号作用下的时间响应,均可分解为零输入响应与零状态响应之和
y ( t ) = y z i + y z s y(t)=y_{zi}+y_{zs} y(t)=yzi+yzs

  • y z i y_{zi} yzi零输入响应

    • 只与系统的极点类型和分布有关,与系统的零点无关,与系统的初始条件有关。

    • 反映系统的稳定性。

  • y z s y_{zs} yzs零状态响应

    • 在时域:表示为系统的单位脉冲响应与输入信号的卷积。
    • 在复数域:表示为传递函数与输入信号拉氏变换的乘积。
    • 与系统的零极点都有关,还与输入信号的性质有关。
    • 反映系统的稳定性、暂态(快速及平稳性)及稳态(准确)特性。

数学模型

  • 微分方程 T d c ( t ) d t + c ( t ) = r ( t ) T\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=r(t) Tdtdc(t)+c(t)=r(t)
  • 开环传函 G k ( s ) = 1 T s G_k(s)=\frac{1}{Ts} Gk(s)=Ts1
  • 闭环传函 Φ ( s ) = C ( s ) R ( s ) = 1 T s + 1 \Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{Ts+1} Φ(s)=R(s)C(s)=Ts+11
  • 特征方程 T s + 1 = 0 Ts+1=0 Ts+1=0

输入响应

  • 单位阶跃响应

    t = 3 T , c ( t ) = 0.95 t=3T,c(t)=0.95 t=3T,c(t)=0.95 —— 5% 误差带

    t = 4 T , c ( t ) = 0.98 t=4T,c(t)=0.98 t=4T,c(t)=0.98 —— 2% 误差带

    • 可以用时间常数 T 去度量系统的输出量的数值

    • 初始斜率为 1/T

    • 无超调

    • 稳态误差 e s s = 0 e_{ss}=0 ess=0

  • 单位脉冲响应

    • 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值
    • 初始斜率为 − 1 / T 2 -1/T^2 1/T2
    • 无超调
    • 稳态误差 e s s = 0 e_{ss}=0 ess=0
  • 单位斜坡响应

    出现稳态误差( e s s = T e_{ss}=T ess=T

    一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪

在这里插入图片描述

  • 系统对输入信号导数的响应,就等于系统对该输入信号响应的导数。
  • 系统对输入信号积分的响应,就等于系统对该输入信号响应的积分,积分常数由零输出初始条件确定。

二阶系统的时域分析

  • 微分方程

T 2 d 2 c ( t ) d t 2 + 2 ζ T d c ( t ) d t + c ( t ) = r ( t ) d 2 c ( t ) d t 2 + 2 ζ w n d c ( t ) d t + w n 2 c ( t ) = w n 2 r ( t ) T^2\frac{d^2c(t)}{dt^2}+2\zeta{T}\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=r(t)\\ \frac{d^2c(t)}{dt^2}+2\zeta{w_n}\frac{dc(t)}{dt}+w^2_nc(t)=w^2_nr(t) T2dt2d2c(t)+2ζTdtdc(t)+c(t)=r(t)dt2d2c(t)+2ζwndtdc(t)+wn2c(t)=wn2r(t)

  • 开环传函

G k ( s ) = 1 T 2 s 2 + 2 ζ T s = w n 2 s 2 + 2 ζ w n s G_k(s)=\frac{1}{T^2s^2+2\zeta{T}s}=\frac{w^2_n}{s^2+2\zeta{w_n}s} Gk(s)=T2s2+2ζTs1=s2+2ζwnswn2

  • 闭环传函

Φ ( s ) = C ( s ) R ( s ) = w n 2 s 2 + 2 ζ w n s + w n 2 = 1 T 2 s 2 + 2 ζ T s + 1 \Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{
{w_n}^2}{s^2+2\zeta{w_n}s+{w_n}^2 }=\frac{1}{T^2s^2+2\zeta{T}s+1}
Φ(s)=R(s)C(s)=s2+2ζwns+wn2wn2=T2s2+2ζTs+11

  • 特征方程的根

s 1 , 2 = − ζ w n ∓ j w n 1 − ζ 2 s_{1,2}=-\zeta{w_n}\mp{jw_n\sqrt{1-\zeta^2}} s1,2=ζwnjwn1ζ2


阻尼比

阻尼比 所属情况
ζ = 0 \zeta=0 ζ=0 无(零)阻尼
0 < ζ < 1 0<\zeta<1 0<ζ<1 欠阻尼
ζ = 1 \zeta=1 ζ1 临界阻尼(重极点)
ζ > 1 \zeta>1 ζ>1 过阻尼
  • 由于阻尼比 ζ \zeta ζ 为负,指数因子具有正幂指数,因此系统的动态过程为发散正弦振荡或单调发散的形式,从而表明 ζ < 0 \zeta<0 ζ<0 的二阶系统是不稳定的。

  • 如果 ζ = 0 \zeta=0 ζ0,则特征方程有一对纯虚根, s 1 , 2 = ± j w n s_{1,2}=\pm{jw_n} s1,2=±jwn,对应于 s 平面虚轴上一对共轭极点,可以算出系统的阶跃响应为等幅振荡,此时系统相当于无阻尼情况。

  • 如果 0 < ζ < 1 0<\zeta<1 0<ζ<1,则特征方程有一对具有负实部的共轭复根, s 1 , 2 = − ζ w n ∓ j w n 1 − ζ 2 s_{1,2}=-\zeta{w_n}\mp{jw_n\sqrt{1-\zeta^2}} s1,2=ζwnjwn1ζ2
    ,对应于 s 平面左半部的共轭复数极点,相应的阶跃响应为衰减振荡过程,此时系统处于欠阻尼情况。

    • 系统特征方程既有实部也有虚部,其单位阶跃响应既有振荡成分也有衰减成分,是一个随时间 t 的增长,振幅按指数规律衰减的周期函数(衰减振荡曲线)。
  • 如果 ζ = 1 \zeta=1 ζ1,则特征方程具有两个相等的负实根, s 1 , 2 = − w n s_{1,2}=-w_n s1,2=wn,对应于s平面负实轴上的两个相等实极点,相应的阶跃响应非周期地趋于稳态输出,此时系统处于临界阻尼情况。

  • 如果 ζ > 1 \zeta>1 ζ>1,则特征方程有两个不相等的负实根 s 1 , 2 = − ζ w n ± w n ζ 2 − 1 s_{1,2}=-\zeta{w_n}\pm{w_n\sqrt{\zeta^2-1}} s1,2=ζwn±wnζ21
    ,对应于 s 平面负实轴上的两个不等实极点,相应的单位阶跃响应也是非周期地趋于稳态输出,但响应速度比 1 临界阻尼情况缓慢,因此称为过阻尼情况。

二阶控制系统的设计,一般取 ζ = 0.4 ∼ 0.8 \zeta=0.4\sim0.8 ζ=0.40.8


二阶系统的单位阶跃响应

  • 根的实部反应在响应的指数部分(模态形状:是否衰减)

  • 根的虚部反应在响应的正弦部分(模态形状:是否振荡)

    • ζ = 0 \zeta=0 ζ=0 时为临界稳定状态

    • ζ ≈ 0.707 \zeta ≈ 0.707 ζ0.707 时调节时间最短(称为最佳阻尼比)

s 1 , 2 = − ζ w n ± j w n 1 − ζ 2 = − σ ± j w d s_{1,2}=-\zeta{w_n}\pm{jw_n\sqrt{1-\zeta^2}}=-\sigma\pm{jw_d} s1,2=ζwn±jwn1ζ2
=
σ±jwd

  • 衰减系数 σ \sigma σ (实部)是闭环极点到虚轴之间的距离

  • 阻尼振荡频率 w d w_d wd (虚部)是闭环极点到实轴之间的距离: w d = w n ( 1 − ζ 2 ) w_d=w_n(\sqrt{1-\zeta^2}) wd=wn(1ζ2
    )

  • 自然频率 w n w_n wn 是闭环极点到坐标原点之间的距离

    w n w_n wn 与负实轴夹角的余弦正好是阻尼比 ζ \zeta ζ,即 cos ⁡ φ = ζ \cos\varphi=\zeta cosφ=ζ

结论:调节时间与闭环极点的实部数值成反比。闭环极点距虚轴的距离越远,系统的调节时间越短。由于阻尼比值主要根据对系统超调量的要求来确定,所以调节时间主要由自然频率决定。若能保持阻尼比值不变而加大自然频率值,则可在不改变超调量的情况下缩短调节时间。

欠阻尼二阶系统阶跃响应

  • 峰值时间 t p = π w d = π w n 1 − ζ 2 t_p=\frac{\pi}{w_d}=\frac{\pi}{w_n\sqrt{1-\zeta^2}} tp=wdπ=wn1ζ2
    π
    与根(极点)的虚部成反比

  • 超调量 σ p = e − π ζ 1 − ζ 2 × 100 % \sigma_p=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\% σp=e1ζ2
    πζ
    ×
    100%

  • 上升时间 t r = π − φ w n 1 − ζ 2 t_r=\frac{\pi-\varphi}{w_n\sqrt{1-\zeta^2}} tr=wn1ζ2
    πφ
    为第一次达到稳态值时的时间

  • 调节时间 t s = 3.5 ζ w n ( Δ = 5 % ) t_s=\frac{3.5}{\zeta{w_n}}(\Delta=5\%) ts=ζwn3.5(Δ=5%) t s = 4.4 ζ w n ( Δ = 2 % ) t_s=\frac{4.4}{\zeta{w_n}}(\Delta=2\%) ts=ζwn4.4(Δ=2%) 与闭环极点的实部数值成反比

  • 延迟时间 t d ≈ 1 + 0.7 ζ w n t_d\approx\frac{1+0.7\zeta}{w_n} tdwn1+0.7ζ t d ≈ 1 + 0.6 ζ + 0.2 ζ 2 w n t_d\approx\frac{1+0.6\zeta+0.2\zeta^2}{w_n} tdwn1+0.6ζ+0.2ζ2 为第一次达到稳态值一半的时间,与震荡频率成反比,与 ξ 成正比

由于阻尼比值主要根据对系统超调量的要求来确定,所以调节时间主要由自然频率决定。

对于欠阻尼二阶系统,极点的阻尼角(阻尼比)决定响应的平稳性;阻尼比(阻尼角)一定时,极点与虚轴的距离( ζ w n \zeta{w_n} ζwn)决定响应的快速性。

欠阻尼二阶系统单位阶跃响应稳态误差为零

添加零点对典型二阶系统暂态响应特性影响

  • 添加闭环零点

    • 输出响应的变化率越大微分作用便越强,零点的影响就越大;闭环零点离虚轴越近,影响就越显著,若零点离虚轴越远则影响就越弱。
    • 一般而言,添加闭环零点,使响应加快,震荡加剧,超调增大。零点越靠近虚轴,作用越明显。
  • 添加开环零点

    增大阻尼比,不影响系统的稳定性,系统的动态性能可以得到改善,不改变系统的稳态精度。

    • 比例微分控制(在前向通道中添加零点)不影响系统的稳定性。
    • 比例微分控制(添加开环零点)可以增大系统的阻尼比,从而使阶跃响应的超调量下降、系统平稳性增强;可以使闭环增加同样的零点,从而使系统响应加快;比例微分控制(添加开环零点)可以全面改善系统的动态响应特性。
    • 比例( k p = 1 k_p=1 kp=1)微分控制(添加开环零点)不影响系统的稳态精度。
    • 比例微分控制(添加开环零点)主要用于改善系统的暂态响应(动态)性能

速度反馈(微分负反馈)

输出量的导数同样可以用来改善系统的性能。通过将输出的速度信号反馈到系统输入端,并与误差信号比较,其效果与比例一微分控制相似,可以增大系统阻尼,改善系统动态性能。

  • 微分负反馈控制器不影响系统的稳定性。
  • 微分负反馈控制器可以增大系统的阻尼比,从而使阶跃响应的超调量下降、系统平稳性增强、使系统调节时间加快;微分负反馈控制器可以改善系统的动态响应特性。
  • 微分负反馈控制器降低系统的稳态精度
  • 微分负反馈控制器主要用于改善系统的暂态响应(动态)性能,但会增大稳态误差。
  • 为了减小稳态误差,必须加大原系统的开环增益,而使 K t K_t Kt 单纯用来增大系统阻尼

比例-微分控制与测速反馈控制的比较

  • 附加阻尼来源:比例-微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信号的速度,而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出端响应的速度,因此对于给定的开环增益和指令输入速度,后者对应较大的稳态误差值。
  • 使用环境比例-微分控制对噪声有明显放大作用,当系统输入端噪声严重时,不宜选用比例-微分控制。同时,微分器的输入信号为系统误差信号,其能量水平低,需要当大的放大作用,为了不明显恶化信噪比,要求选用高质量的放大器;而测速反馈控制对系统输入端噪声有滤波作用,同时测速发电机的输入信号能量水平较高,因此对系统组成元件没有过高的质量要求,使用场合比较广泛。
  • 对开环增益和自然频率的影响:比例-微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响;测速反馈控制虽不影响自然频率,但却会降低开环增益。因此,对于确定的常值稳态误差,测速反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大,必然导致系统自然频率增大,在系统存在高频噪声时,可能引起系统共振。
  • 对动态性能的影响:比例-微分控制相当于在系统中加入实零点,可以加快上升时间。在相同阻尼比的条件下,比例微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。

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