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题目

中位数是有序整数列表中的中间值。如果列表的大小是偶数，则没有中间值，中位数是两个中间值的平均值。

例如arr = [2,3,4]的中位数是3。
例如arr = [2,3]的中位数是(2 + 3) / 2 = 2.5。

实现MedianFinder类:

MedianFinder()初始化MedianFinder对象。

void addNum(int num)将数据流中的整数num添加到数据结构中。

double findMedian()返回到目前为止所有元素的中位数。与实际答案相差10-5以内的答案将被接受。

示例 1：
输入
["MedianFinder", "addNum", "addNum", "findMedian", "addNum", "findMedian"]
[[], [1], [2], [], [3], []]
输出
[null, null, null, 1.5, null, 2.0]

解释

MedianFinder medianFinder = new MedianFinder();
medianFinder.addNum(1);    // arr = [1]
medianFinder.addNum(2);    // arr = [1, 2]
medianFinder.findMedian(); // 返回 1.5 ((1 + 2) / 2)
medianFinder.addNum(3);    // arr[1, 2, 3]
medianFinder.findMedian(); // return 2.0

提示:
-105 <= num <= 105
在调用findMedian之前，数据结构中至少有一个元素
最多5 * 104次调用addNum和findMedian

代码

方法一：优先队列

思路和算法：我们用两个优先队列 queMax 和 queMin 分别记录大于中位数的数和小于等于中位数的数。当累计添加的数的数量为奇数时，queMin 中的数的数量比 queMax 多一个，此时中位数为 queMin 的队头。当累计添加的数的数量为偶数时，两个优先队列中的数的数量相同，此时中位数为它们的队头的平均值。

当我们尝试添加一个数 num 到数据结构中，我们需要分情况讨论：

num≤max{queMin}

此时 num 小于等于中位数，我们需要将该数添加到 queMin 中。新的中位数将小于等于原来的中位数，因此我们可能需要将 queMin 中最大的数移动到 queMax 中。

num>max{queMin}

此时 num 大于中位数，我们需要将该数添加到 queMin 中。新的中位数将大于等于原来的中位数，因此我们可能需要将 queMax 中最小的数移动到 queMin 中。

特别地，当累计添加的数的数量为 0 时，我们将 num 添加到 queMin 中。

class MedianFinder {
   
    PriorityQueue<Integer> queMin;
    PriorityQueue<Integer> queMax;

    public MedianFinder() {
   
        queMin = new PriorityQueue<Integer>((a, b) -> (b - a));
        queMax = new PriorityQueue<Integer>((a, b) -> (a - b));
    }
    
    public void addNum(int num) {
   
        if (queMin.isEmpty() || num <= queMin.peek()) {
   
            queMin.offer(num);
            if (queMax.size() + 1 < queMin.size()) {
   
                queMax.offer(queMin.poll());
            }
        } else {
   
            queMax.offer(num);
            if (queMax.size() > queMin.size()) {
   
                queMin.offer(queMax.poll());
            }
        }
    }
    
    public double findMedian() {
   
        if (queMin.size() > queMax.size()) {
   
            return queMin.peek();
        }
        return (queMin.peek() + queMax.peek()) / 2.0;
    }
}

时间复杂度：
1、addNum: O(logn)，其中 n 为累计添加的数的数量。
2、findMedian: O(1)。
空间复杂度： O(n)，主要为优先队列的开销。

方法二：有序集合 + 双指针

思路和算法：我们也可以使用有序集合维护这些数。我们把有序集合看作自动排序的数组，使用双指针指向有序集合中的中位数元素即可。当累计添加的数的数量为奇数时，双指针指向同一个元素。当累计添加的数的数量为偶数时，双指针分别指向构成中位数的两个数。

当我们尝试添加一个数 num 到数据结构中，我们需要分情况讨论：
1、初始有序集合为空时，我们直接让左右指针指向 num 所在的位置。
2、有序集合为中元素为奇数时，left 和 right 同时指向中位数。如果 num 大于等于中位数，那么只要让 left 左移，否则让 right 右移即可。
3、有序集合为中元素为偶数时，left 和 right 分别指向构成中位数的两个数。
     ☑️ 当 num 成为新的唯一的中位数，那么我们让 left 右移，right 左移，这样它们即可指向 num 所在的位置；
     ☑️ 当 num 大于等于 right，那么我们让 left 右移即可；
     ☑️ 当 num 小于 right 指向的值，那么我们让 right 左移，注意到如果 num 恰等于 left 指向的值，那么 num 将被插入到 left 右侧，使得 left 和 right 间距增大，所以我们还需要额外让 left 指向移动后的 right。

class MedianFinder {
   
    TreeMap<Integer, Integer> nums;
    int n;
    int[] left;
    int[] right;

    public MedianFinder() {
   
        nums = new TreeMap<Integer, Integer>();
        n = 0;
        left = new int[2];
        right = new int[2];
    }
    
    public void addNum(int num) {
   
        nums.put(num, nums.getOrDefault(num, 0) + 1);
        if (n == 0) {
   
            left[0] = right[0] = num;
            left[1] = right[1] = 1;
        } else if ((n & 1) != 0) {
   
            if (num < left[0]) {
   
                decrease(left);
            } else {
   
                increase(right);
            }
        } else {
   
            if (num > left[0] && num < right[0]) {
   
                increase(left);
                decrease(right);
            } else if (num >= right[0]) {
   
                increase(left);
            } else {
   
                decrease(right);
                System.arraycopy(right, 0, left, 0, 2);
            }
        }
        n++;
    }

    public double findMedian() {
   
        return (left[0] + right[0]) / 2.0;
    }

    private void increase(int[] iterator) {
   
        iterator[1]++;
        if (iterator[1] > nums.get(iterator[0])) {
   
            iterator[0] = nums.ceilingKey(iterator[0] + 1);
            iterator[1] = 1;
        }
    }

    private void decrease(int[] iterator) {
   
        iterator[1]--;
        if (iterator[1] == 0) {
   
            iterator[0] = nums.floorKey(iterator[0] - 1);
            iterator[1] = nums.get(iterator[0]);
        }
    }
}

时间复杂度：
1、addNum: O(logn)，其中 n 为累计添加的数的数量。
2、findMedian: O(1)。
空间复杂度： O(n)，主要为有序集合的开销。

进阶 1
如果数据流中所有整数都在 0 到 100 范围内，那么我们可以利用计数排序统计每一类数的数量，并使用双指针维护中位数。

进阶 2
如果数据流中 99% 的整数都在 0 到 100 范围内，那么我们依然利用计数排序统计每一类数的数量，并使用双指针维护中位数。对于超出范围的数，我们可以单独进行处理，建立两个数组，分别记录小于 0 的部分的数的数量和大于 100 的部分的数的数量即可。当小部分时间，中位数不落在区间 [0,100] 中时，我们在对应的数组中暴力检查即可。